【矩阵论】01——线性空间——基本概念

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本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

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准备知识

在正式学习线性空间之前，我们先来复习一下向量空间和数域的概念。

• 向量空间：设V为n维向量的集合，V不为空集，V对加法和数乘封闭，则称V为向量空间。

• 数  域：设F是包含0和1的数集，若F对和，差，积，商(分母不为零)封闭，则称F为一个数域。

也就是说对于任意属于F中的x,y，x与y的四则运算结果都仍然属于这个数域中的元素。

举例：有理数Q，实数R均为数域。在本书中，无特别说明，F均指实数域，或复数域。

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一 线性空间的概念

 

从这个定义中我们总结一下:

• V是一个非空集合，且集合中的元素来自数域F；（这里就要警醒对数域的理解了）

• 两种运算：加法和数乘（注意封闭性）

• 满足八条法则

我们可以简单记为（V,F,+,.）

举个例子：

分析：

1. 在实数域（或复数域），按照通常的向量加法和数乘，也就是对应元素相加，每个元素乘上一个数(注意是数乘)，其结果仍然属于集合中元素所在数域，可以证明也满足八条法则，因此Fn是F上的线性空间。

2. 但是如果把数域缩小为整数域，也就是说集合中的所有元素均是整数，我们可以知道，整数与整数相除结果并不一定为整数，也就是说集合V对数乘不封闭，因此整数域不是线性空间。定义中要求线性空间对加法和数乘都要封闭。

3. 在这里我们可以知道，对于一个集合，a.只有在确定的数域上才能讨论它是不是线性空间；b.对于同一个集合，在不同上讨论数域，结论并不一定相同。

从教材上所举的另外两个例子：

• 非空集合在矩阵的加法和数乘下构成数域F上的线性空间，称为矩阵空间。

• 非空集合在矩阵的加法和数乘多项式运算下构成数域F上的线性空间，称为多项式空间。

• 另外还有函数空间。

难点：

1. 线性空间中的加法和数乘已经不再局限于数的加法和乘法的概念中了。也就是说，1+1等于几是由你自己定义的，只要你所定义的满足八条运算法则。

2. 正是由于第一点，对于零元，单位元，负元也是要根据八条法则确定。比如零元并不一定就是0.我们可以根据线性空间的性质得出。

 

线性空间的性质

基于以上性质，我们对与零元，单位元，负元应分别做以下理解：

• 零元：零元加上任何一个元素仍为任何元素。其实回归到最初我们学的数学，数零就是这么定义的。想一想幼儿园老师是怎么教的呢：零就是没有，没有加上一颗糖还是一颗糖！只不过那个时候的加法性质和这里的加法并不是一样的，所以在这里必须按照定义的加法性质去去求零元。

• 单位元：单位元乘以任何一个元素仍为任何元素。

• 负元：-1数乘元素。

举个例子：