初等数论 3.2 离散对数

定义：设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}$且有原根$r$，若$a\in {\mathbb{Z}}^{+}$满足$(a,m)=1$，使得同余式$r^x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)1\le x\le \varphi (m)$成立的唯一的整数$x$称为$a$对模$m$的以$r$为底的指数（离散对数），记为$\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$.
定理：设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}$且有原根$r$，且$a$和$b$是均与$m$互素的整数，则：
1.$\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$.
2.$\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}\mathrm{b}\equiv \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$.
3.$\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}\equiv k\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))k\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
定义：设$m,k,a\in {\mathbb{Z}}^{+},(a,m)=1$，若同余方程$x^k\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$有解，则称$a$是$m$的$k$次幂剩余.
定理：设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}$且有原根，$k\in {\mathbb{Z}}^{+},a\in \mathbb{Z}$且$(a,m)=1$，则同余方程$x^k\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$有解当且仅当$$a^{\varphi (m)/d}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$其中$d=(k,\varphi (m))$.进一步，若$x^k\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$有解，那么它恰有$d$个模$m$不同余的解.

证明：设$r$是模$m$的一个原根，则同余式$$x^k\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$成立当且仅当两边对以$r$为底的指数模$\varphi (m)$同余：$$k\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{x}\equiv \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$$现在令$d=(k,\varphi (m))$以及$y=\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{x}$，则$x\equiv r^y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$.若$d\nmid \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$，则线性同余方程$$ky\equiv \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$$无解；若$d\mid \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$，则恰存在$d$个不同余于模$\varphi (m)$的整数$y$使得方程成立，所以恰存在$d$个不同余于模$\varphi (m)$的整数$x$使得$$k\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{x}\equiv \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$$成立.而$d\mid \mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$当且仅当$$(\varphi (m)/d)\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m))$$当且仅当$$a^{\varphi (m)/d}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$得证.

定理：设$p>2$为素数，$e,q\in {\mathbb{Z}}^{+}$，则同余方程$x^q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^e)$的不同余的解的个数是$(q,p^{e-1}(p-1))$.

证明：设$r$是$p^e$的一个原根，则$x^q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^e)$当且仅当$qy\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p^e))$，其中$y=\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{r}}\mathrm{x}$.而$x^q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^e)$恰有$(q,\varphi (p^e))$个不同余的解.所以同余方程$x^q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^e)$共有$(q,\varphi (p^e))=(q,p^{e-1}(p-1))$个不同余的解.

定理：设$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，若$x\in \mathbb{Z}$满足$$\begin{array}{rl}{x}^{n-1}& \equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\\ x^{(n-1)q}& ̸\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\end{array}$$其中$q$是$n-1$的任一素因子，则$n$是一个素数.

证明：由于$x^{n-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，则$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x}\mid (n-1)$.假设$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x}̸=(n-1)$，则$\exists 1<k\in \mathbb{Z}n-1=k\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x}$，设$q$为$k$的一个素因子，则$$x^{(n-1)/q}=x^{(k\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x})/q}=(x^{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x}}{)}^{k/q}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$与假设矛盾，所以$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{x}=n-1$，于是$\varphi (n)=n-1$，$n$是素数.

推论：若$n$是一个正素数，若$x\in {\mathbb{Z}}^{+}$满足$$\begin{array}{rl}{x}^{(n-1)/2}& \equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\\ x^{(n-1)/q}& ̸\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\end{array}$$其中$q$是$n-1$的任一奇素因子，则$n$是一个素数.

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练习：1.证明：若$\exists x\in \mathbb{Z}$满足$$\begin{array}{rl}{x}^{2^{2^n}}& \equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{F}_n)\\ x^{2^{(2^n-1)}}& ̸\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{F}_n)\end{array}$$则Fermat数$F_n=2^{2^n}+1$是素数.
2.设$n=h{q}^k+1$，其中$q$为素数，且$q^k>h$.证明：若$\exists a\in \mathbb{Z}{a}^{n-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$且$(a^{(n-1)/q}-1,n)=1$，则$n$是素数.