hdu 6134 Battlestation Operational (莫比乌斯反演+反演一般做法)

题目链接：哆啦A梦传送门

题意：
求$f(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^i\lceil \frac{n}{i}\rceil [gcd(i,j)==1]$

题解：参考博客：神犇
此公式大部分都是参考博客里面的。写这篇只是为了自己以后好复习回顾。

我们先化简一下：

$\begin{array}{rl}f(n)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\lceil \frac{n}{i}\rceil [gcd(i,j)==1]\\ & =\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^i\lfloor \frac{n}{i}\rfloor [gcd(i,j)==1]+\varphi (n)-1)只有n与i互质时，向上取整才会多1\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor [gcd(i,j)==1])+\sum _{i=1}^n\varphi (n)-n\end{array}$

我们再设：
首先我们要知道莫比乌斯函数有这样一个性质：${\sum }_{d|n}u(d)=[n==1]$
$\begin{array}{rl}g(n)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor [gcd(i,j)==1])\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \sum _{d|(i,j)}u(d))\\ 我们现在枚举d，设i=k_{1}d,j=k_{2}d,那么有& \\ & =\sum _{d=1}^{n}u(d)\sum _{k_1}^{n/d}\sum _{k_2}^{k_1}\lfloor \frac{k_1}{k_2}\rfloor \end{array}$

我们知道：$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\sum _{i=1}^n\sigma (i),\sigma (i)表示i的正因子个数。\end{array}$
$\begin{array}{r}一个很简单的证明，对于每个i，\lfloor \frac{n}{i}\rfloor 表示在[1,n]中有\lfloor \frac{n}{i}\rfloor 个因子i\\ 例如:i等于1,n=4,\lfloor \frac{4}{1}\rfloor =4,即在[1,4]中每个数都存在因子1\end{array}$

那么上式就可化简为：
$\begin{array}{rl}g(n)& =\sum _{d=1}^{n}u(d)\sum _{k_1}^{n/d}\sum _{k_2}^{k_1}\lfloor \frac{k_1}{k_2}\rfloor \\ & =\sum _{d=1}^{n}u(d)\sum _{k_1}^{n/d}\sum _{k_2}^{k_1}\sigma (k_2)\end{array}$

我们设$\begin{array}{r}h(n)=\sum _i^n\sum _j^i\sigma (j)\end{array}$，这个我们可以先线性筛出来$\sigma (n)$，接着预处理前缀和就可以求得$h(n)$。

那么最终的式子就为：

$\begin{array}{r}f(n)=\sum _{d=1}^{n}u(d)h(\frac{n}{d})+\sum _{i=1}^n\varphi (n)-n\end{array}$

我们现在总结下：
根据题目给的公式或者自己推的公式：
1，如果有向上取整的，先化成向下取整（一般跟欧拉函数挂钩）。
2，看到有某个 [条件变量=1]，我们此时要能反应出莫比乌斯反演的一个性质：${\sum }_{d|条件变量}u(d)$ ，接着我们就把d给拿出来枚举，并让其它积分变量满足相应的条件（一般n/d等等）
3，接着我们要熟记一些公式，因为我们可以将它们替换，例如此题的$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\sum _{i=1}^n\sigma (i),\sigma (i)表示i的正因子个数。\end{array}$公式。
4，有些化简后的式子不是我们常用的能被替换的公式（此公式很容易求得），那么此时就很可能要想到这是不是积性函数，要是的话，我们就要往这方面去做了，但有时积性函数不好判断，也可以大胆假设它就为积性函数，因为大部分我们遇到的都是积性函数。不过我们还是得到掌握下积性函数的判别方法，比如，我们要积累一些积性函数，多个积性函数相乘也为积性函数。知道是积性函数之后，我们就可以在线性筛那里把它们给筛出来。

线性筛分为3部分：
1.n本身是素数，这个根据积性函数的定义可得，很容易求。
2.i%prime[j]!=0，这个也是根据积性函数的性质可得，即f(a)f(b)=f(ab)。
3.i%prime[j]==0，这个可能需要找规律加灵光一闪。

代码：

#include

using namespace std;

const int N=1e6+10;

typedef long long LL;

const LL mod=1e9+7;
int prime[N],tot;/// 筛素数 ，从0下标开始存储

int mu[N];///莫比乌斯函数

int phi[N]; ///欧拉函数

///facnum[i]表示i的约数个数,d[i]，表示i的最小质因子的次幂
int facnum[N],d[N];

bool vis[N];

///函数h，欧拉函数前缀和，莫比乌斯前缀和
LL h[N],sum_phi[N],sum_mu[N];

void init()
{
    tot = 0;
    phi[1] = 1;
    mu[1] = 1;
    facnum[1] = 1;

    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            phi[i] = i - 1;
            mu[i] = -1;
            prime[tot++] = i;
            facnum[i] = 2;
            d[i] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j++)
        {
            vis[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                mu[i * prime[j]] = 0;
                facnum[i * prime[j]] = facnum[i] / (d[i] + 1) * (d[i] + 2);
                d[i * prime[j]] = d[i] + 1;
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            facnum[i * prime[j]] = facnum[i] * 2;
            d[i * prime[j]] = 1;
        }
    }

    sum_phi[0]=0;
    LL item=0;
    for(int i=1;i




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