【bzoj2705】[SDOI2012]Longge的问题 欧拉函数

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0

Source

round1 day1

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先贴一个hzwer的，感觉说的好有道理。
枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）

因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=euler(n/k)

这是从意思上理解…

如果从式子上理解的话

∑i=1ngcd(i,n)

=∑i=1n∑d|gcd(i,n)ϕ(d)

=∑i=1n∑d|i d|nϕ(d)

到这里都是显然的。因为i是枚举的1到n，d是枚举的i和n的公因数。单独考虑d，d对答案有贡献当i是d及d的倍数的时候，这样的i一共有 n/d 个。

所以最终结果就是

∑d|nϕ(d)∗nd

这样对于n，质因数分解，再单独计算欧拉函数，复杂度 O((n)−−−√)

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int SZ = 1000010;

typedef long long LL;

LL phi(LL n)
{
    LL ans = n;
    LL m = sqrt(n);
    for(int i = 2;i <= m;i ++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ans -= ans / i;
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans -= ans / n;
    return ans;
}

int main()
{
    LL n;
    scanf("%lld",&n);

    LL ans = 0;
    for(int i = 1;i <= sqrt(n);i ++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ans += i * phi(n / i);
            if(n / i != i) ans += phi(i) * (n / i);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}