【BZOJ3994】[SDOI2015] 约数个数和（莫比乌斯反演）

点此看题面

大致题意： 设$d(x)$为$x$的约数个数，求${\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^{M}d(i\cdot j)$。

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莫比乌斯反演

这是一道莫比乌斯反演题。

$Link$

莫比乌斯反演 详见博客 初学莫比乌斯反演

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一个重要的性质

首先我们要先了解$d(i\cdot j)$这个函数的性质：

$$d(i,j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$

证明： 我也不知道，应该就是枚举$i$和$j$的约数，求出其中不互质的约数对个数，避免重复计算。

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一些定义

按照莫比乌斯反演的常见套路，我们可以定义$f(d)$和$F(n)$如下：

$$f(d)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M[gcd(i,j)==d]$$

$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$

然后由莫比乌斯反演的某些性质，我们可以得到下面这个式子：

$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\lfloor \frac{d}{n}\rfloor )F(d)$$

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公式化简

首先，题目中已经给出：

$$answer=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{M}d(i\cdot j)$$

由于上面提到的性质，我们可以得到：

$$answer=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$

根据莫比乌斯函数$\mu$的性质：${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n==1]$，所以，我们可以将$\mu$代入，将原式变成这个样子：

$$answer=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d|gcd(x,y)}\mu (d)$$

由于这个式子难以操作，因此，我们可以将原式略作修改，改成对$d$进行枚举，变成这个样子：

$$answer=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\ast [d|gcd(x,y)]$$

不难发现，$\mu (d)$的值是与$i,j,x,y$无关的，因此可以将其单独提出，就变成了这样：

$$answer=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}[d|gcd(x,y)]$$

然后，我们可以从枚举$i,j$及其约数$x,y$，转变为直接枚举约数$x,y$，然后将其贡献乘上约数倍数的个数（这应该还是比较好理解的），于是就有了下面这个式子：

$$answer=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^M[d|gcd(x,y)]\lfloor \frac{N}{x}\rfloor \lfloor \frac{M}{y}\rfloor$$

考虑由$d|gcd(x,y)$可以得到$d|x$且$d|y$，即$x$和$y$是$d$的倍数所以我们就可以通过直接枚举$d$的倍数$d\cdot x$和$d\cdot y$来取代枚举$x,y$，从而消去$d|gcd(x,y)$这个限制：
$$answer=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\sum _{y=1}^{\lfloor \frac{M}{d}\rfloor }\lfloor \frac{N}{d\cdot x}\rfloor \lfloor \frac{M}{d\cdot y}\rfloor$$

最后，我们可以将原式稍作变动，得到下面这个式子：

$$answer=(\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d))(\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\lfloor \frac{N}{d\cdot x}\rfloor )(\sum _{y=1}^{\lfloor \frac{M}{d}\rfloor }\lfloor \frac{M}{d\cdot y}\rfloor )$$

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求解答案

不难想到对这个式子中的后两部分进行除法分块（貌似需要二次除法分块），然后对$\mu (d)$用前缀和预处理一下，就能做到单次询问$O(\sqrt{N})$的时间复杂度，这样就能过了。

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代码

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 50000
using namespace std;
int n,m;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
    private:
        int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
    public:
        int sum[N+5];LL g[N+5];
        Class_Mobius()//预处理
        {
            register int i,j,l,r;
            for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
            {
                if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
                for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j) 
                    if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
            }
            for(i=1;i<=N;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求出前缀和
            for(i=1;i<=N;++i) for(l=1;l<=i;l=r+1) r=i/(i/l),g[i]+=1LL*(r-l+1)*(i/l);//第一次除法分块
        }
}Mobius;
int main()
{
    register int l,r,lim,T;register LL ans;F.read(T);
    while(T--)
    {
        for(F.read(n),F.read(m),ans=0,l=1,lim=min(n,m);l<=lim;l=r+1)//第二次除法分块
            r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1LL*(Mobius.sum[r]-Mobius.sum[l-1])*Mobius.g[n/l]*Mobius.g[m/l];
        F.write(ans),F.write_char('\n');
    }
    return F.end(),0;
}