欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里的算法：

  欧几里的算法又叫辗转相除法， 可以求解两数之间的最大公约数，当然最大公约数求出来了

也可得最小公倍数。

求 a 和 b 的最大公约数：

假设有 x 满足 a = b * x + c;

假设有a 和 b 的最大公约数是 k , 那么满足 k | b ， 就满足 k | (b * x) ,  因为 k | a ，所以就有 k | (a - b*x)

因为 c=a-b*x，即是k |c;  所以求 a 和 b, 之间的最大公约数的问题就转化成了 ，求 b 和 c 之间的最大公约数

的问题。 即gcd( a, b) = gcd (b, a mod b)  依次类推，当最后的 a= b*x+c ，c=0 时，即a%b=0，即gcd（a,b)=b

那么最原始的a 和b 的最大公约数就是目前的 b.

int gcd(int a,int b)
{
	if(a%b==0)
		return b;
	return (b,a%b);
}

     扩展欧几里得算法：

通常使用扩展欧几里得算法求解模线性方程。 a * x= b (mod n)

 转化为 a*x + b*y = z ,其中已知 a,b,z 可求 x, y 的值。 

扩展欧几里得就是采用倒退的形式求 x, y 的值的（以下讨论a>b） 
显然当 b=0，gcd（a，b）= a。此时 x=1，y=0； 
当a>b>0 时 
设 a * x1+ b * y1= gcd（a，b）； 
b* x2 + （a mod b）* y2= gcd（b，a mod b）； 
根据欧几里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）； 
则：a * x1+ b * y1= b * x2+（a mod b）* y2； 
即：a * x1+ b * y1= b * x2+ （a - [a / b] * b）* y2 = a * y2+ b * x2- [a / b] * by2；（a mod b = a - [a / b]*b；

[a / b]代表a整除b） 也就是a * x1+ b * y1 = a * y2 + b *（x2- [a / b] *y2； 
根据恒等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2； 
这样我们就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2 
由引理我们知道：ax+by = z，z为gcd（a，b）若干倍，所以我们先求解ax+by = gcd（a，b），再将求

出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。

依旧递归实现，因为上一次的x，y与下一次的x，y的值有关，所以我们从x=1，y=0（此时b=0）的情况开始递归上来

   

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	
	int u=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return u;
}