k进制FWT学习笔记
从线性代数角度看快速变换
考虑我们现在对两个幂级数 A , B A,B A,B 定义运算 ∗ * ∗ :
假设 A ∗ B = C A*B=C A∗B=C ，那么要求满足 C k = ∑ i ⊕ j = k A i B j C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_iB_j Ck=i⊕j=k∑AiBj ，现在给出 A , B A,B A,B ，要求快速求出 C C C 。
于是我们考虑构造矩阵 f f f 满足 ( f ∗ A ) ∗ ( f ∗ B ) = ( f ∗ C ) (f*A)*(f*B)=(f*C) (f∗A)∗(f∗B)=(f∗C) 且 f f f 可逆，那么现在只需快速求出 f ∗ A , f ∗ B , f − 1 ( f ∗ C ) f*A,f*B,f^{-1}(f*C) f∗A,f∗B,f−1(f∗C)即可。
不难发现当 ⊕ \oplus ⊕ 为加法时我们的 f f f 即是系数表示法到点值表示法的转移矩阵。
现在考虑推导 K K K 进制 F W T FWT FWT 的系数矩阵：
不妨设 n = K i − 1 n=K^i-1 n=Ki−1 ，那么有
( f ∗ A ) [ x ] ∗ ( f ∗ B ) [ x ] = ( f ∗ C ) [ x ] ( ∑ i = 0 n f x , i a i ) ( ∑ i = 0 n f x , i b i ) = ∑ i = 0 n f x , i c i f x , k = ∑ i ⊕ j = k f x , i f x , j \begin{aligned}(f*A)[x]*(f*B)[x]=&(f*C)[x]\\(\sum\limits_{i=0}^{n}f_{x,i}a_i)(\sum\limits_{i=0}^nf_{x,i}b_i)=&\sum\limits_{i=0}^nf_{x,i}c_i\\f_{x,k}=&\sum\limits_{i\oplus j=k}f_{x,i}f_{x,j}\end{aligned} (f∗A)[x]∗(f∗B)[x]=(i=0∑nfx,iai)(i=0∑nfx,ibi)=fx,k=(f∗C)[x]i=0∑nfx,icii⊕j=k∑fx,ifx,j
显然光靠这点是不够的，我们需要给 f i , j f_{i,j} fi,j 赋予更强的性质：假设当前有 m + 1 m+1 m+1 个 K K K 进制位， x = ( x 0 x 1 x 2 . . . x m ) K k x=(x_0x_1x_2...x_m)_Kk x=(x0x1x2...xm)Kk ，我们构造 f x , y = ∏ i = 0 m f x i , y i f_{x,y}=\prod\limits_{i=0}^mf_{x_i,y_i} fx,y=i=0∏mfxi,yi记 x ^ \hat x x^ 表示 x x x 在 K K K 进制下的最高位， x ˇ \check x xˇ 表示 x x x 在 K K K 进制下的其余位，考虑矩阵乘法的式子：
( f ∗ A ) [ x ] = ∑ i = 0 m f x , i a i = ∑ i = 0 K − 1 f x ^ , i ∑ j ^ = i f x ˇ , j ˇ a j = ∑ i = 0 K − 1 f x ^ , i ( f ∗ A i ) [ x ˇ ] \begin{aligned}(f*A)[x]=&\sum\limits_{i=0}^mf_{x,i}a_i \\=&\sum\limits_{i=0}^{K-1}f_{\hat x,i}\sum\limits_{\hat j=i}f_{\check x,\check j}a_{j}\\=&\sum\limits_{i=0}^{K-1}f_{\hat x,i}(f*A_i)[\check x]\end{aligned} (f∗A)[x]===i=0∑mfx,iaii=0∑K−1fx^,ij^=i∑fxˇ,jˇaji=0∑K−1fx^,i(f∗Ai)[xˇ]于是现在如果求出了 f f f ，我们可以利用分治法进行快速变换。
考虑之前推出的 f f f 元素之间的关系：
f x , k = ∑ i ⊕ j = k f x , i f x , j = ∑ [ K ∣ i + j − k ] f x , i f x , j \begin{aligned}f_{x,k}=&\sum\limits_{i\oplus j=k}f_{x,i}f_{x,j}\\=&\sum\limits_{[K|i+j-k]}f_{x,i}f_{x,j}\end{aligned} fx,k==i⊕j=k∑fx,ifx,j[K∣i+j−k]∑fx,ifx,j突然神似单位根反演？？？而且还要求有循环的意义，那么这启示我们定义 f i , j = ( ω k i ) j = ω k i j f_{i,j}=(\omega_{k}^i)^j=\omega_{k}^{ij} fi,j=(ωki)j=ωkij
于是
f = [ 1 1 1 ⋯ 1 1 ω k 1 ω k 2 ⋯ ω k k − 1 1 ω k 2 ω k 4 ⋯ ω k 2 ( k − 1 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 ω k k − 1 ω k 2 ( k − 1 ) ⋯ ω k ( k − 1 ) ( k − 1 ) ] f − 1 = 1 k [ 1 1 1 ⋯ 1 1 ω k − 1 ω k − 2 ⋯ ω k − ( k − 1 ) 1 ω k − 2 ω k − 4 ⋯ ω k − 2 ( k − 1 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 ω k − ( k − 1 ) ω k − 2 ( k − 1 ) ⋯ ω k − ( k − 1 ) ( k − 1 ) ] f= \left[ \begin{matrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_k^1&\omega_k^2&\cdots&\omega_k^{k-1}\\ 1&\omega_k^2&\omega_k^4&\cdots&\omega_k^{2(k-1)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\omega_k^{k-1}&\omega_k^{2(k-1)}&\cdots&\omega_k^{(k-1)(k-1)} \end{matrix} \right] \\ f^{-1}=\frac1k \left[ \begin{matrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_k^{-1}&\omega_k^{-2}&\cdots&\omega_k^{-(k-1)}\\ 1&\omega_k^{-2}&\omega_k^{-4}&\cdots&\omega_k^{-2(k-1)}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\omega_k^{-(k-1)}&\omega_k^{-2(k-1)}&\cdots&\omega_k^{-(k-1)(k-1)} \end{matrix} \right] f=⎣⎢⎢⎢⎢⎡111⋯11ωk1ωk2⋯ωkk−11ωk2ωk4⋯ωk2(k−1)⋯⋯⋯⋯⋯1ωkk−1ωk2(k−1)⋯ωk(k−1)(k−1)⎦⎥⎥⎥⎥⎤f−1=k1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡111⋯11ωk−1ωk−2⋯ωk−(k−1)1ωk−2ωk−4⋯ωk−2(k−1)⋯⋯⋯⋯⋯1ωk−(k−1)ωk−2(k−1)⋯ωk−(k−1)(k−1)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
例题：[清华集训2016]石家庄的工人阶级队伍比较坚强
代码：
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