一次同余式的求解和相关理论
定义
形如 f ( x ) ≡ 0 ( m o d m ) f(x)\equiv 0\pmod m f(x)≡0(modm)的方程称同余式. f ( x ) f(x) f(x)是整数系数多项式. f ( x ) f(x) f(x)是形如 a x + b ax+b ax+b的是一次同余式.
明显的,一个有解的同余式解是无限的,但是都在若干个对m的剩余系内.所以称满足条件的剩余系的个数为解数.
下面以解一个一次同余式的过程解释一次同余式的解法和相关性质.
例程
6 x ≡ 28 ( m o d 32 ) 6x \equiv 28\pmod{32} 6x≡28(mod32)
判断有无解
T h e o r e m : 同 余 式 a x ≡ b ( m o d m ) 有 解 的 充 要 条 件 是 ( a , m ) ∣ b . 在 有 解 的 情 况 下 ， 解 数 为 g c d ( a , m ) . {Theorem:}\\ 同余式 ax\equiv b \pmod m有解的充要条件是( a,m )| b.\\在有解的情 况下，解数为gcd(a,m). Theorem:同余式ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)∣b.在有解的情况下，解数为gcd(a,m).
解释:
ax=km+b, ax-km=b,要有整数解x,k,则根据裴蜀定理,有且仅有sa+tb=gcd(a,b)*k有整数解.
实际上就是裴蜀定理中用表格求解的那个gcd(a,b)=sa+tb.
该式gcd(6,32)=2|28,有解.并根据性质(互质两个同除,不互质三个同除)约简为
3 x ≡ 14 ( m o d 1 ) 6 3x\equiv 14\pmod 16 3x≡14(mod1)6
通解和解数
T h e o r e m : 如 果 有 解 , 且 求 出 特 解 x 0 , 那 么 通 解 为 x ≡ x 0 + t ⋅ m g c d ( a , m ) ( m o d m ) . {Theorem:}\\ 如果有解,且求出特解x_0,那么通解为x\equiv x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}\pmod m. Theorem:如果有解,且求出特解x0,那么通解为x≡x0+t⋅gcd(a,m)m(modm).
解释:
由二元一次不定方程的平衡理论,当不定方程 b = a x + k m b=ax+km b=ax+km有特解 x 0 , k 0 x_0,k_0 x0,k0时,步进 △ p \triangle p △p应为 [ a , m ] = a , m g c d ( a , m ) [a,m]=\frac{a,m}{gcd(a,m)} [a,m]=gcd(a,m)a,m此时 △ x = p / a , △ k = p / m . \triangle x=p/a,\triangle k=p/m. △x=p/a,△k=p/m.
所以 △ x \triangle x △x应为步进的整数倍.即 x ≡ x 0 + t ⋅ m g c d ( a , m ) ( m o d m ) x\equiv x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}\pmod m x≡x0+t⋅gcd(a,m)m(modm).
另外,由于余数应取mod m,即 x 0 + t ⋅ m g c d ( a , m ) < m x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)}<m x0+t⋅gcd(a,m)m<m
即要完成一个大小为m周期,步进数为gcd(a,m).所以解数为 g c d ( a , m ) gcd(a,m) gcd(a,m).
还有一种说法是对于解 x 0 + t ⋅ m g c d ( a , m ) x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)} x0+t⋅gcd(a,m)m在gcd(a,m)个解空间内分配,得解为
x 0 + t ⋅ m g c d ( a , m ) , t ∈ 0 , 1 , 2 , . . . , g c d ( a , m ) x_0+t\cdot \frac{m}{gcd(a,m)},t\in{0,1,2,...,gcd(a,m)} x0+t⋅gcd(a,m)m,t∈0,1,2,...,gcd(a,m)
该式子中,特解为x=10 所以通解为 x ≡ 10 + 16 t ( m o d 3 ) 2 x\equiv 10+16t\pmod 32 x≡10+16t(mod3)2,解数为2,所以t=0,1
Summary
一次同余式求解较为简单,主要流程为:
判断有无解->解数->化简->特解->通解
在这些过程中,如果有大数,要灵活运用相关性质约简和求解.在此不赘述.