莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

前言

• 莫比乌斯反演是数论中的一个重要的内容，对于一些函数\(f(n)\)，如果很难直接求出他的值，而容易求出他的倍数和或约数和\(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得\(f(n)\)的值。
• 博文中有部分内容会先不给出证明，因为证明需要狄利克雷卷积的前置知识，过分关注狄利克雷卷积我个人认为不太利于莫比乌斯反演的学习。
• 但他们又是紧密联系的一个内容，所以在文末最后一部分会有证明。

前置知识

整除分块

• 直接来看这样一道题吧：洛谷2261：余数求和

莫比乌斯函数

• 看一下这篇博客吧~！莫比乌斯函数。

性质

• 性质1：莫比乌斯函数是一个积性函数。
• 性质2：对于任意正整数\(n\)，有\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。其中\(\phi(n)\)是\(n\)的欧拉函数。
• 性质3：对于任意正整数\(n\)，\(\sum_{d|n}\mu(d)= (n=1)\)。（常用）
  • 也就是说这个式子只有当\(n=1\)时返回值为\(1\)，否则返回值为\(0\)。
  • 证明：
    • 1：当\(n=1\)显然。
    • 2：当\(n\neq 1\)时，根据算术基本定理有\(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2},...,p_k^{c_k}\)。
    • 对于\(c_i >= 2\)的情况，莫比乌斯函数都等于0。
    • 所以只用考虑\(c_i=1\)的情况。
    • 质因数为\(r\)的个的因子有\(C_k^r\)个。
    • 那么显然有\(\sum_{d|n}=C_k^0-C_k^1+C_k^2+...+(-1)^kC_k^k=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i=0\)。

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演定理

• \(F(n)\)和\(f(n)\)是定义在非负整数集合上的两个函数，并满足条件：
  • \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\).
• 那么有:
  • \(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\).
• 这个定理就是莫比乌斯反演定理。
• 还有另一种表现形式：
  • \(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\).
  • \(f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac{d}{n}\rfloor)F(d)\)。

例题

难度递增

luogu3455：ZAP-Queries

luogu2257：YY的GCD

luogu332：约数个数和

上述部分性质的证明：

积性函数：

定义：

• \(f(n)\)是积性函数，则有：\(f(1)=1\)，且若\(a,b\)互质，则\(f(ab)=f(a)f(b)\)。
• 如果对于\(a,b\)不一定互质，也满足上述性质，则这个函数被称为完全积性函数。

常见的积性函数

• \(\mu(n)\)：莫比乌斯函数。
• \(\phi(n)\)：欧拉函数，表示从\(1\)到\(n\)中与\(n\)互质的数的个数。
• \(d(n)\)：约数个数，就是\(n\)的约数的个数。
• \(\sigma(n)\)：约数和函数。

完全积性函数

• \(\epsilon(n)\)：元函数。\(\epsilon(n)=[n=1]\)。
• \(id(n)\)：单位函数。\(id(n)=n\)。
• \(I(n)\)：恒等函数，\(I(n)=1\)，不管\(n\)取多少，这个函数都恒为\(1\)。

积性函数的性质：

• 设\(f(x),g(x)\)为积性函数，则：
  • \(h(x)=f(x^p)\).
  • \(h(x)=f^p(x)\).
  • \(h(x)=f(x)g(x)\).（**重要，也就是积性函数*积性函数=积性函数**）
  • \(h(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})\).
• 中的\(h(x)\)也为积性函数。

狄利克雷卷积（*）

定义

• 不需要把他当成很难的东西，就想成他是一个符号定义了一个运算就行。

• 定义：两个数论函数\(f\)和\(g\)的卷积为\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。
  • 前面的符号表示\(f\)卷\(g\)，后面的括号表示范围。

性质

• 1：交换律：\(f*g=g*f\).
• 2：结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\).
• 3：分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\).
• 前面那个元函数\(\epsilon\)：
  • 所谓元函数，就是在狄利克雷卷积卷积中充当单位元的作用。即\(f*\epsilon=f\)。

莫比乌斯函数\(\mu\)

• 有性质：\(\sum_{d|n}=\mu(d)=[n=1]\)。
• 首先证明莫比乌斯反演：
• 已知\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)。

• 用狄利克雷卷积来表示这个式子：

  • \(F=f*I\).
  • 其中\(I(n)\)是恒等函数。

• 利用地理科类卷积将\(F\)卷上\(u\)，则有：

  • \(F*u=f*I*u\)。
• 根据狄利克雷卷积的结合律有：
  • \(f*(I*u)=f*\epsilon=f\).
  • 根据性质三推出来的。
  • \((I*u)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]=\epsilon(n)\).
• 即：
  • \(F*u=f\).
  • \(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\).

欧拉函数\(\phi\)

• 欧拉函数的著名性质：\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)。
• 将其表现为狄利克雷卷积形式：
  • \(\phi*I=\sum_{d|n}\phi(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\phi(d)=n=id(n)\).
  • \(\phi*I=id\).
  • 其中\(id(n)\)是单位函数，\(id(n)=n\)。
• 两边同卷上一个\(u\)：
  • \(\phi*I*\mu=id*\mu\).
  • \(\phi*(I*\mu)=\phi*\epsilon=\phi=id*\mu=\sum_{d|n}\mu(d)id(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\).
• 两个公式同时除以\(n\)，有：
  • \(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。