BSGS

BSGS

用途：给定形如$A^x \equiv z (mod  p)$(p为质数)的式子，给定A、z、p,求满足条件的x的最小值。

解法：

考虑暴力，暴力枚举0到p-1并验证，复杂度O(n)。

考虑优化：考虑通过预处理来加速算法。

$$A^x \equiv z (mod  p)$$

设$c$=$\sqrt{p}$，也就是我们的块大小，

$$A^{ic+j} \equiv z (mod  p)$$

$$A^j \equiv z*A^{-ic} (mod  p)$$

我们把$1$到$c$的$A^i$存入hash池中，这样我们每次枚举$A^{-ic}*z$,在hash池中查询，这样就可以同时检验$1--c$个值是否出现。

 

具体来说就是如果查询到一个值，设其为T,则

 

$$A^T \equiv z*A^{-ic} (mod  p)$$

 

x为T+ic。

 

复杂度O($\sqrt{n}$)。

 

优化的地方在于我们一次可以同时比较$\sqrt{n}$个值。

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拓展BSGS：

$$A^x \equiv z (mod  p)$$

同时两边取t=gcd(A,P)。

原式 ：

$$A^{x-1}*\frac{A}{t} * t \equiv \frac{z}{t} * t (mod  \frac{p}{t} * t)$$

则，现在原式变成：

$$ A^{x-1}*\frac{A}{t} \equiv \frac{z}{t} (mod  *\frac{p}{t})$$

这个过程会一直进行直到A、P互质。

显然，当z在中途无法被除尽时，就是无解。

现在，原式变成：

$$ A^{x-k}*C \equiv T (mod  P)$$

由于$C$是由若干个A除若干个其他因子得到，$C$与$P$必然也互质。

用欧拉定理把$C$的逆元乘到右边，然后再用普通BSGS即可。

注意最后算答案的时候$A$是减了$K$个的，我们把$K$加上就行。

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