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数学基础

一、矩阵知识 

1. 常见n阶方阵：零矩阵(O)、单位矩阵I(主对角线为1，其余元素为零)、对角矩阵(除主对角线元素不为零，其他元素均为零:diag)、转置矩阵(矩阵A的行换成同序数的列:A^{T})、对称矩阵(对角线为对称轴对称的元素相等:A=A^{T})、逆矩阵(n阶方阵A和B存在：AB=BA=I，A^{-1})、奇异矩阵(矩阵A行列式为0)、行列式、伴随矩阵(A^{*})、奇异矩阵。

(1)行列式：只有n阶矩阵存在行列式，计算如下：det\left ( A \right )=\left | A \right |=\sum_{k=1}^{n}a_{1k}\left ( -1 \right )^{1+k}detS_{1k}

(2)矩阵的代数余子式：A_{ij}=\left ( -1 \right )^{i+j}detS_{1k}

(3)伴随矩阵A^{*}：存在方阵A=\left ( a_{ij} \right )_{n\times n}，则矩阵A^{*}=\left ( A_{ij} \right )_{n\times n}称为矩阵A的伴随矩阵

                                                                          A^{*}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ...&A_{n2} \\ . & . &. &.\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{bmatrix}_{n\times n}

(4)奇异矩阵：n阶方阵的行列式为零的矩阵，即\left | A \right |=0

                      \left | A \right |\neq 0与A可逆是充分必要条件，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

(5)矩阵的秩：对m\times n矩阵A，称其一切非退化方子阵的最高阶数k为矩阵A的秩，记为r\left ( A \right )，其中r\left ( O \right )=0。

                      换句话说就是找到行列式不为零的最大n阶方阵，则矩阵的秩为r\left ( A \right )=n，存在着行满秩阵，列慢秩阵，满秩阵。

(6)行列式性质：\left | A^{T} \right |=\left | A\right |，\left | \lambda A \right |=\lambda ^{n}\left | A \right |，\left | AB \right |=\left | BA \right |=\left | A \right |\left | B \right |，AA^{*}=A^{*}A=\left |A \right |E

(7)转置矩阵性质：\left ( A+B \right )^{T}=A^{T}+B^{T},\left ( AB \right ) ^{T}=B^{T} A^{T}

(8)逆矩阵性质:\left ( A^{-1} \right )^{T}=\left ( A^{T} \right )^{-1},\left ( AB\right )^{-1} =B^{-1}A^{-1}，A^{-1}=A^{*}/\left | A \right |，\left (A^{*} \right )^{-1}=\left ( A^{-1} \right )^{*}

                        n阶方阵只有一个逆矩阵，行列式不为零则方阵可逆，且说明该矩阵满秩；

                        n阶可逆矩阵，行列式不为0，各列向量线性无关。

(9)矩阵的秩性质：r\left ( A \right )=r\left ( A^{T} \right )；任一m\times n矩阵A经有限次行初等变换后秩不变；满秩矩阵乘任一矩阵，不改变其秩。

(10)线性方程：线性方程组中系数组成的矩阵A=\left ( a_{ij} \right )_{m\times n}称为系数矩阵；齐次Ax=0(非零解(无穷多解)，零解(唯一解))；

                        非齐次Ax=b(无解，多解，唯一解)； 增广矩阵：针对非齐次方程。

(11)系数矩阵、行列式和矩阵秩关系：

      A. 对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r\left ( A \right )来判断
           如果系数矩阵的秩r\left ( A \right )小于增广矩阵的秩r\left ( A ,b\right )，r\left ( A\right )< r\left ( A ,b\right )，那么方程组无解； 
           如果系统矩阵的秩r\left ( A \right )小于方程组未知数个数n，r\left ( A\right )= r\left ( A ,b\right )< n，那么方程组有多个解;
           如果系统矩阵的秩r\left ( A \right )等于方程组未知数个数n，r\left ( A\right )= r\left ( A ,b\right )= n，那么方程组有唯一解。

      B. 对于齐次线性方程组，用行列式的值 det\left ( A \right )来判断。(不存在无解的情况)
          如果det\left ( A \right )= 0，即系数矩阵降秩，则有非零解（无穷多个解）；
          如果det\left ( A \right )\neq 0，即系数矩阵满秩，则只有零解（只有唯一解）。

(12)梯度矩阵：标量y对矩阵X_{m\times n}的导数，可以得到梯度矩阵，即为：

                                \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} X}=\left ( \frac{\partial y}{\partial x_{ij}} \right )_{m\times n}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{11}} &\frac{\partial y}{\partial x_{12}} & ... &\frac{\partial y}{\partial x_{1n}} \\ \frac{\partial y}{\partial x_{21}}&\frac{\partial y}{\partial x_{22}} &... &\frac{\partial y}{\partial x_{2n}} \\ ...& ... &... &... \\ \frac{\partial y}{\partial x_{m1}} & \frac{\partial y}{\partial x_{m2}}& ... & \frac{\partial y}{\partial x_{mn}} \end{bmatrix}

2.矩阵函数

(1)矩阵值函数：如果一个矩阵A\left ( x \right )_{m\times n}的每个元素a\left ( x \right )_{ij}都属于实数范围\left ( a,b \right )内，则此矩阵A\left ( x \right )_{m\times n}称为矩阵值函数。

                         一般记A\left ( x \right )_{m\times n}是实数区间\left ( a,b \right )上m\times n阶矩阵值函数，矩阵值函数中每个元素都满足：a\left ( x \right )_{ij}\in \left ( a,b \right )

(2)矩阵函数：如果一个函数的定义域和值域都是方阵，则此函数称为矩阵函数

(3)矩阵值函数求导：有矩阵值函数A\left ( x \right )，B\left ( x \right )，记为A，B，用符号d(A)表示对矩阵值函数A进行x求导。

                                 \frac{\mathrm{d}A\left ( x \right ) }{\mathrm{d} x}=0；\frac{\mathrm{d}\left ( A+B \right )}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} B}{\mathrm{d} x}；\frac{\mathrm{d} \left ( AB \right )}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} A }{\mathrm{d} x}B+A\frac{\mathrm{d} B }{\mathrm{d} x}

(4)梯度矩阵：多元函数f(X)对矩阵X求导，仍得到相同大小的矩阵。

(5)矩阵对标量x的求导：矩阵A\left ( x \right )_{m\times n}的每个元素分别对标量x求导，即\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial a_{ij}}{\partial x},i=1,2,...,m;j=1,2,...n

                                                                      \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} & \frac{\partial a_{12}}{\partial x} & ... & \frac{\partial a_{1n}}{\partial x}\\ \frac{\partial a_{21}}{\partial x} & \frac{\partial a_{22}}{\partial x} & ...&\frac{\partial a_{2n}}{\partial x} \\ ...& ... & ... &... \\ \frac{\partial a_{m1}}{\partial x}& \frac{\partial a_{m1}}{\partial x} & ... & \frac{\partial a_{mn}}{\partial x} \end{bmatrix}_{m\times n}

(6)向量Y对向量X的求导:Y=\left ( y_{1},y_{2},...,y_{m} \right ),X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )；\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\left ( \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\right )_{m\times n},i=1,2,...,m;j=1,2,...,n

                                                                        \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} &\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} &... &\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} &\frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} &... &\frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}} \\ ... & ...&... & ...\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}_{m\times n}

(7)矩阵Y关于向量X的求导:Y= \left ( y_{ij} \right )_{m\times n}对向量X=x_{k},k=1,2,..,n；\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}= \left ( \frac{\partial y_{ij}}{\partial x_{j}} \right )_{m\times n},i=1,2,...,m;j=1,2,...,n。

                                                                        \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_{11}}{\partial x_{1}} &\frac{\partial y_{12}}{\partial x_{2}} &... &\frac{\partial y_{1n}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial y_{21}}{\partial x_{1}} &\frac{\partial y_{22}}{\partial x_{2}} &... &\frac{\partial y_{2n}}{\partial x_{n}} \\ ... & ...&... & ...\\ \frac{\partial y_{m1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{m2}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial y_{mn}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}_{m\times n}

3. 矩阵的迹

 (1) 概念：存在方阵A=\left ( a_{ij} \right )_{n\times n}，其主对角线上的所有元素之和。称为此方阵的迹，记为tr\left ( A \right )。

                                                                             tr\left ( A \right )=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}

其中n阶方阵A的迹tr\left ( A \right )等于方阵A的所有特征值之和。

关系：矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式；矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。

(2) 迹的性质

A.定理： tr\left ( AB \right )=tr\left ( BA \right );    tr\left ( ABC \right )=tr\left (CAB \right )=tr\left ( BCA \right );    tr\left ( A \right )=tr\left ( A^{T} \right )

B.定理：AB矩阵乘函数的迹对A求导 结果等于矩阵B的转置，即\frac{\partial tr\left ( AB \right )}{\partial A}=\frac{\partial tr\left ( BA \right )}{\partial A}=B^{T}     \left ( A_{m\times n},B \right_{n\times m} )

同时存在：\frac{\partial tr\left ( A^{T}B \right )}{\partial A}=\frac{\partial tr\left ( BA ^{T}\right )}{\partial A}=B        \left ( A_{m\times n},B \right_{n\times m} )(标量对矩阵求偏导等于变量单独对矩阵每一个元素求偏导)

C.定理：矩阵A的迹对矩阵A自己求导等于单位矩阵I。记为\frac{\partial tr\left ( A \right )}{\partial A}=I

D.定理：\frac{\partial tr\left ( A^{T}XB^{T}\right )}{\partial X}=\frac{\partial tr\left ( BX^{T}A \right )}{\partial X}=AB;\frac{\partial tr\left ( AXBX^{T} \right )}{\partial X}=AXB+A^{T}XB^{T}

 

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  • 小学奥数全套试卷百度云资源，pdf可打印电子版地址更新 全网优惠分享君
    奥数，全称为奥林匹克数学竞赛，是一项极富挑战性的数学竞赛活动。它旨在发现和培养数学人才，提高他们的数学水平，并为国家培养出优秀的数学后备力量。在奥数竞赛中，学生需要掌握扎实的数学基础，灵活运用数学知识，解决各种复杂的数学问题。为了帮助小学生更好地学习奥数，我们整理了一份小学奥数全套试卷百度云资源，pdf可打印电子版。这份资源包含了小学奥数各年级的试卷，题型全面，难度适中，适合小学生练习和提高自己的
  • LeetCode[位运算] - #137 Single Number II Cwind javaAlgorithmLeetCode题解位运算
    原题链接：#137 Single Number II  要求： 给定一个整型数组，其中除了一个元素之外，每个元素都出现三次。找出这个元素 注意：算法的时间复杂度应为O(n)，最好不使用额外的内存空间   难度：中等   分析： 与#136类似，都是考察位运算。不过出现两次的可以使用异或运算的特性 n XOR n = 0, n XOR 0 = n，即某一
  • 《JavaScript语言精粹》笔记 aijuans JavaScript
    0、JavaScript的简单数据类型包括数字、字符创、布尔值（true/false）、null和undefined值，其它值都是对象。 1、JavaScript只有一个数字类型，它在内部被表示为64位的浮点数。没有分离出整数，所以1和1.0的值相同。 2、NaN是一个数值，表示一个不能产生正常结果的运算结果。NaN不等于任何值，包括它本身。可以用函数isNaN(number)检测NaN,但是
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    在很多人眼中，Java 已经是一门垂垂老矣的语言，但并不妨碍 Java 世界依然在前进。如果你曾离开 Java，云游于其它世界，或是每日只在遗留代码中挣扎，或许是时候抬起头，看看老 Java 中的新东西。 Guava Guava[gwɑ:və]，一句话，只要你做Java项目，就应该用Guava（Github）。 guava 是 Google 出品的一套 Java 核心库，在我看来，它甚至应该
  • HttpClient 120153216 httpclient
    /** * 可以传对象的请求转发，对象已流形式放入HTTP中 */ public static Object doPost(Map<String,Object> parmMap,String url) { Object object = null; HttpClient hc = new HttpClient(); String fullURL
  • Django model字段类型清单 2002wmj django
    Django 通过 models 实现数据库的创建、修改、删除等操作，本文为模型中一般常用的类型的清单，便于查询和使用： AutoField：一个自动递增的整型字段，添加记录时它会自动增长。你通常不需要直接使用这个字段；如果你不指定主键的话，系统会自动添加一个主键字段到你的model。(参阅自动主键字段) BooleanField：布尔字段,管理工具里会自动将其描述为checkbox。 Cha
  • 在SQLSERVER中查找消耗CPU最多的SQL 357029540 SQL Server
    返回消耗CPU数目最多的10条语句 SELECT TOP 10    total_worker_time/execution_count AS avg_cpu_cost, plan_handle,    execution_count,    (SELECT SUBSTRING(text, statement_start_of
  • Myeclipse项目无法部署，Undefined exploded archive location 7454103 eclipseMyEclipse
    做个备忘！ 错误信息为：       Undefined exploded archive location 原因：           在工程转移过程中，导致工程的配置文件出错； 解决方法：    
  • GMT时间格式转换 adminjun GMT时间转换
    普通的时间转换问题我这里就不再罗嗦了，我想大家应该都会那种低级的转换问题吧，现在我向大家总结一下如何转换GMT时间格式，这种格式的转换方法网上还不是很多，所以有必要总结一下，也算给有需要的朋友一个小小的帮助啦。 1、可以使用 SimpleDateFormat SimpleDateFormat    EEE-三位星期 d-天 MMM-月 yyyy-四位年
  • Oracle数据库新装连接串问题 aijuans oracle数据库
    割接新装了数据库，客户端登陆无问题，apache/cgi-bin程序有问题，sqlnet.log日志如下： Fatal NI connect error 12170.   VERSION INFORMATION:         TNS for Linux: Version 10.2.0.4.0 - Product
  • 回顾java数组复制 ayaoxinchao java数组
    在写这篇文章之前，也看了一些别人写的，基本上都是大同小异。文章是对java数组复制基础知识的回顾，算是作为学习笔记，供以后自己翻阅。首先，简单想一下这个问题：为什么要复制数组？我的个人理解：在我们在利用一个数组时，在每一次使用，我们都希望它的值是初始值。这时我们就要对数组进行复制，以达到原始数组值的安全性。java数组复制大致分为3种方式：①for循环方式 ②clone方式 ③arrayCopy方
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            在java web应用中，当你想在建立会话或移除会话时，让系统做某些事情，比如说，统计在线用户，每当有用户登录时，或退出时，那么可以用下面这个监听器来监听。        import java.util.ArrayList; import java.ut
  • NoSQL数据库之Redis数据库管理(Redis的常用命令及高级应用) bijian1013 redis数据库NoSQL
    一 .Redis常用命令         Redis提供了丰富的命令对数据库和各种数据库类型进行操作，这些命令可以在Linux终端使用。         a.键值相关命令         b.服务器相关命令 1.键值相关命令       &
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  • 【Spark七十八】Spark Kyro序列化 bit1129 spark
    当使用SparkContext的saveAsObjectFile方法将对象序列化到文件，以及通过objectFile方法将对象从文件反序列出来的时候，Spark默认使用Java的序列化以及反序列化机制，通常情况下，这种序列化机制是很低效的，Spark支持使用Kyro作为对象的序列化和反序列化机制，序列化的速度比java更快，但是使用Kyro时要注意，Kyro目前还是有些bug。 Spark
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      推荐博文： Tell Above, and Ask Below - Hybridizing OO and Functional Design 文章中把OO和FP讲的深入透彻，里面把smalltalk和haskell作为典型的两种编程范式代表语言，此点本人极为同意，smalltalk可以说是最能体现OO设计的面向对象语言，smalltalk的作者Alan kay也是OO的最早先驱，
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            开发中常常会用到这样一种数据结构，根据一个关键字，找到所需的信息。这个过程有点像查字典，拿到一个key，去字典表中查找对应的value。Java1.0版本提供了这样的类java.util.Dictionary(抽象类)，基本上支持字典表的操作。后来引入了Map接口，更好的描述的这种数据结构。  &nb
  • 读《研磨设计模式》-代码笔记-职责链模式-Chain Of Responsibility bylijinnan java设计模式
    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ /** * 业务逻辑：项目经理只能处理500以下的费用申请，部门经理是1000，总经理不设限。简单起见，只同意“Tom”的申请 * bylijinnan */ abstract class Handler { /*
  • Android中启动外部程序 cherishLC android
    1、启动外部程序 引用自： http://blog.csdn.net/linxcool/article/details/7692374 //方法一 Intent intent=new Intent(); //包名 包名+类名（全路径） intent.setClassName("com.linxcool", "com.linxcool.PlaneActi
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    BEGIN /*DECLARE minDate varchar(20) ; DECLARE maxDate varchar(20) ;*/ DECLARE stkDate varchar(20) ; DECLARE done int default -1; /* 游标中 注册服务器地址 */ DE
  • hadoop hdfs 添加数据目录出错 daizj hadoophdfs扩容
    由于原来配置的hadoop data目录快要用满了，故准备修改配置文件增加数据目录，以便扩容，但由于疏忽，把core-site.xml, hdfs-site.xml配置文件dfs.datanode.data.dir 配置项增加了配置目录，但未创建实际目录，重启datanode服务时，报如下错误： 2014-11-18 08:51:39,128 WARN org.apache.hadoop.h
  • grep 目录级联查找 dongwei_6688 grep
           在Mac或者Linux下使用grep进行文件内容查找时，如果给定的目标搜索路径是当前目录，那么它默认只搜索当前目录下的文件，而不会搜索其下面子目录中的文件内容，如果想级联搜索下级目录，需要使用一个“-r”参数： grep -n -r "GET" .   上面的命令将会找出当前目录“.”及当前目录中所有下级目录
  • yii 修改模块使用的布局文件 dcj3sjt126com yiilayouts
    方法一：yii模块默认使用系统当前的主题布局文件，如果在主配置文件中配置了主题比如: 'theme'=>'mythm', 那么yii的模块就使用 protected/themes/mythm/views/layouts 下的布局文件； 如果未配置主题，那么 yii的模块就使用  protected/views/layouts 下的布局文件， 总之默认不是使用自身目录 pr
  • 设计模式之单例模式 come_for_dream 设计模式单例模式懒汉式饿汉式双重检验锁失败无序写入
                    今天该来的面试还没来，这个店估计不会来电话了，安静下来写写博客也不错，没事翻了翻小易哥的博客甚至与大牛们之间的差距，基础知识不扎实建起来的楼再高也只能是危楼罢了，陈下心回归基础把以前学过的东西总结一下。   *********************************
  • 8、数组 豆豆咖啡 二维数组数组一维数组
      一、概念       数组是同一种类型数据的集合。其实数组就是一个容器。   二、好处       可以自动给数组中的元素从0开始编号，方便操作这些元素   三、格式   //一维数组 1,元素类型[] 变量名 = new 元素类型[元素的个数] int[] arr =
  • Decode Ways hcx2013 decode
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        系统:centos 5.x   需要的软件:squid-3.0.STABLE25.tar.gz 1.下载squid wget http://www.squid-cache.org/Versions/v3/3.0/squid-3.0.STABLE25.tar.gz tar zxf squid-3.0.STABLE25.tar.gz &&
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    1) 从已知的String对象中调用equals()和equalsIgnoreCase()方法，而非未知对象。 　　总是从已知的非空String对象中调用equals()方法。因为equals()方法是对称的，调用a.equals(b)和调用b.equals(a)是完全相同的，这也是为什么程序员对于对象a和b这么不上心。如果调用者是空指针，这种调用可能导致一个空指针异常 Object unk
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    概述：本文通过实例从同步和异步两种方式上回答了”如何在Swift语言中创建http请求“的问题。 如果你对Objective-C比较了解的话，对于如何创建http请求你一定驾轻就熟了，而新语言Swift与其相比只有语法上的区别。但是，对才接触到这个崭新平台的初学者来说，他们仍然想知道“如何在Swift语言中创建http请求？”。 在这里,我将作出一些建议来回答上述问题。常见的
  • Spring事务的传播方式 uule spring事务
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