《概率统计与随机过程》——笔记2
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
定义 1 设随机试验E的样本空间S={e}。若对每个试验结果e，都有确定的实数X(e)与之对应，则称实值变量X(e)为随机变量，简记为X。
引入随机变量后，随机事件就可以用随机变量的取值来表示了。
2.2 分布函数
定义 2 设X为随机变量，对于任意实数x，令
F(x)=PX≤x
称F(x)为随机变量X的分布函数。
性质：
1. 取值范围：[0,1]
2. 单调不减。
3. 右连续
4. 对任意实数 a,b(a<b) ,有
P{a<X≤b}=F(b)−F(a)
5. 对任意实数x，有
P{X=x}
2.3 离散型随机变量及其概率分布
定义 3 若随机变量X只可能取有限个值或可列个值： x1,x2,...,xk,... ，则称X为离散型随机变量。X取各个可能值的概率
pk=P{X=xk},k=1,2,3,...
称为离散型随机变量X的概率分布（或分布律）。
2.4 常用的离散型分布
2.4.1 两点分布
若随机变量X的分布律为
P{X=1}=p,P{X=0}=q(0<q<1,p+q=1)
则称X服从参数为p的两点分布，或称0-1分布。
2.4.2 二项分布
如果随机变量X以 P{X=k}=Cknpkqn−k,k=0,1,2,...,n 为其概率分布，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为
X∼B(n,p)
当n比较大，p比较小（一般 n≥10,p≤0.1 ）时，有
Cknpkqn−k≈e−λλkk!
式中，
λ=np,k=0,1,2,...,n
2.4.3 泊松分布
若随机变量X的分布律为
P{X=k}=e−λλkk!,k=0,1,2,...(其中λ>0为常数)
则称X服从参数为
λ 的泊松分布，记为
X∼Π(λ)
2.4.4 超几何分布
设一批产品中有M件正品，N件次品。从中任意取n件，则取到的次品数X是一个离散型随机变量，它的概率分布为
P{X=k}=CkNCn−kMCnM+N,k=0,1,...,l,l=min(n,N)
这个分布称为超几何分布。
2.5 连续性随机变量及其概率密度
定义 4设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，恒有
F(x)=∫−∞xf(t)dt
则称X为连续型随机变量，称函数f(x)为随机变量X的概率密度（或分布密度）函数。
2.6 常用的连续型分布
2.6.1 均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f(x)=⎧⎩⎨1b−a0,,a≤x≤b其他
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布，简记为 X∼U[a,b]
2.6.2 指数分布
若随机变量X的概率密度为
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0(其中λ>0为常数）
则称X服从参数为 λ 的指数分布。
2.6.3 威布尔分布
设随机变量X的概率密度为
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪βη(xη)β−1e−(xη)β,0,x>0x≤0
式中， η,β 均为正常数，则称X服从参数为 η,β 的威布尔分布，记作 X∼W(η,β) , η称为尺度参数,β称为形状参数
2.6.4 Γ 分布
设随机变量X的概率密度为
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪βαΓ(α)xα−1e−βx,0,x>0x≤0
式中， α>0,β>0 均为常数， Γ(α)=∫+∞0tα−1e−tdt ,则称X服从参数为 α,β 的 Γ 分布，记作 X∼Γ(α,β) 。
概率统计中不少常见的重要分布只是 Γ 分布的特殊情形。当 α=1 时， Γ 分布即是参数为 β 的指数分布；
当 α=n2,β=12 时， Γ 分布则是统计学中十分重要的 χ2(n) 分布；
2.6.5 正态分布
设随机变量X的概率密度为
f(x)=1σ2π−−√exp[−(x−μ)22σ2],−∞<x<+∞
式中， −∞<μ<+∞,σ>0 均为常数，则称X服从参数为 μ,σ 的正态分布，记作 X∼N(μ,σ2)
参数 μ=0,σ=1 的正态分布，即N(0,1)，称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用 ϕ(x)和Φ(x) 表示，即有
ϕ(x)=12π−−√exp(−x22)
Φ(x)=12π−−√∫x−∞exp(−t22)dt
Φ(x) 有以下性质：
(1) Φ(0)=12
(2) Φ(x)+Φ(−0x)=1,−∞<x<+∞
(3) Φ(x) 在区间 (−∞,+∞) 上严格单调递增。
容易证明，一般正态分布 N(μ,σ2) 的分布函数 F(x) 与标准正态分布 N(0,1) 之间有下列关系：
F(x)=Φ(x−μσ),−∞<x<+∞
定义 5 设X是一个标准正态随机变量，给定 α,0<α<1 ，如果
P{X≤zα}=α
则称
zα 为标准正态分布的（下侧）
α 分位点（或
α 分位数），简称分位点，即
∫zα−∞12π−−√exp(−x22)dx=Φ(zα)=α
性质 (0<α<1) ：
(1) zα=−z1−α ;
(2) P{X>z1−α}=α ;
(3) P{|X|>z1−α2}=α或P{−z1−α2≤X≤z1−α2}=1−α