HYSBZ 2818 （GCD）莫比乌斯反演

E - Gcd

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

Hint

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

对于此题，我们有两种做法。

一：欧拉函数

题目可以转化为:  求gcd(x,y)==2     gcd(x,y)==3    gcd(x,y)==5  ...  gcd(x,y)==prime  的对数之和

比如算gcd(x,y)==2的对数,这时y的取值只能是2,4,6,8...2*k

那么gcd(x,2)==2,gcd(x,4)==2,gcd(x,6)==2,gcd(x,8)==2 ... gcd(x,<=n中最大的且是2的倍数的数)==2的对数之和即为gcd(x,y)==2的对数

那么显然gcd(x,y)==2的答案为phi(1)+phi(2)+phi(3)+...phi(n/2)

同理可得gcd(x,y)==3的答案为phi(1)+phi(2)+phi(3)+...phi(n/3)

那么令sum(x)=phi(1)+phi(2)+phi(3)+...phi(x)

那么答案即为∑2*sum(n/prime[i])-1   （考虑(x,y) (y,x)为两种不同的答案和 (x,x) (x,x) 算同一种答案）

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e7+1000;
int prime[N],phi[N],cnt,n;// prime:记录质数，phi记录欧拉函数    
int Min_factor[N];// i的最小素因子   
long long sum[N] ;
bool vis[N];    
void Init()    
{    
    cnt=0;    
    phi[1]=1;    
    int x;    
    for(int i=2;i

二：莫比乌斯反演（懒得写题解了，直接把草稿放上来啦2333）

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e7+10;
LL prime[maxn],mu[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];
void getmu(int n)  
{  
    for(int i=0;i<=n;i++)mu[i]=sum[i]=0;
	int tot=0;  
    mu[1]=1;  
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if(!vis[i])  
        {  
            prime[++tot]=i;  
            mu[i]=-1;
	    sum[i]=1;
        }  
        for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++)  
        {  
            int x=prime[j]*i;
			vis[x]=1;  
            if(i%prime[j]==0)  
            {  
                mu[x]=0;
				sum=mu[i];
                break;  
            }
			else
			{
				mu[x]=-mu[i];
				sum=mu[i]-sum[i];
			}  
        }  
    }  
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]+=sum[i-1];
}
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n)==1)
	{
		getmu(n);
		LL ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int nxt=n/(n/i);
			ans+=(sum[nxt]-sum[i-1])*(n/i)*(n/i);
			i=nxt;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}