莫比乌斯反演定理证明(两种形式)

PoPoQQQ没有给出形式二的证明,我恨PoPoQQQ,证了好久。
证明之前,请先看看PoPoQQQ的ppt,当你看完发现没有证明想哭的时候,看看这篇博客。
莫比乌斯反演定理形式一:

F(n)=d|nf(d)=>f(n)=d|nμ(d)F(nd)

证明:
恒等变形得:
f(n)=d|nμ(d)F(nd)=d|nμ(d)k|ndf(k)=k|nf(k)d|nkμ(d)

因为之前证明的这个定理:

d|nμ(d)={10n==1n>1

所以当且仅当 nk=1 ,即n=k时, d|nkμ(d)=1 ,其余时候等于0。

k|nf(k)d|nkμ(d)=f(n)

莫比乌斯反演定理形式二:

F(n)=n|df(d)=>f(n)=n|dμ(dn)F(d)

证明:
k=dn ,那么,就得到
f(n)=k=1+μ(k)F(nk)=k=1+μ(k)nk|tf(t)=n|tf(t)k|tnμ(k)

所以当且仅当 tn=1 ,即t=n时, k|tnμ(k)=1 ,其余时候等于0。
故得到
n|tf(t)k|tnμ(k)=f(n)

证明完毕。

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