[bzoj3930][CQOI2015]选数 莫比乌斯反演

传送门

Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

这是一道极其毒瘤的莫比乌斯反演题，于是我们又开始欢快地推式子了。下文中的r即值h。

最后我们发现答案是这样的：

可是这个r/k可能会非常大怎么办？

于是题解就出现了各种巨佬的神级操作，例如这位。在这里为了不让读者弄混淆，我只介绍80分的算法(在洛谷上评测)，即只能做到O(n/k)。

80分代码：

#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int Maxn=100005;
const ll mod=1000000007;
ll pri[Maxn],u[Maxn],sum[Maxn],n,k,l,r,ans;
bool vis[Maxn];
inline ll mn(ll x,ll y){
    return x>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return mul;
}
inline ll read(){//快速读入，卡常必备 
    ll x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0'){x=x*10;x=x+c-'0';c=getchar();}
    return x;
}
void prep(){//预处理 
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<=Maxn;++i){//筛素数+求莫比乌斯函数 
        if(!vis[i]){pri[++k]=i;u[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=k&&pri[j]*i<=Maxn;++j){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
            u[pri[j]*i]=-u[i];
        }
    }
}
int main(){
    prep();n=read();k=read();l=read();r=read();
    l=(l-1)/k;r=r/k;
    for(ll i=1;i<=r;i++){
    	if(u[i]){
    		ans=(ans+(qpow(r/i-l/i,n)*u[i]+mod)%mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}