全排列和逆序数

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m＝n时所有的排列情况叫全排列。

比如1、2、3这三个数的全排列就是

123  132  213  231  312  321

一共有6中排列方式，也就是3*2*1 = 3!种排列方式。

一般的，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法呢？

从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n中取法：

从生下的n-1个元素中任取一个元素放在第二个位置上，有n-1种取法，以此类推，直到最后剩下一个元素放在最后的位置上，只有一种取法。

于是：

Pn = n*(n-1)....*3*2*1 = n!

 

逆序数：

对于n个不同的元素，可规定个元素之间有一个标准次序(例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序)，于是：在这n个元素的任意排列中，当某个两个元素的前后次序和标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数，逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。

 

逆序数的计算方法：

不妨设元素为1到n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设P1P2.....Pn为这个自然数的一个n级排列，考虑元素Pi(i =1,2,....n)，如果比Pi大的，并且排在Pi前面的元素有ti个，就说这个元素的逆序是ti个，全体元素逆序之和就是P1P2......Pn的逆序数。（未推导）

 

例子：

3  2  5  1  4

这个排列的逆序数为t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5

比3大的排在3前面的数有0个

比2大的排在2前面的数有1个

比5大的排在5前面的数有0个

比1大的排在1前面的数有3个

比4大的排在4前面的数有1个

 

将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种做出新排列的手续叫做对换。

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性（未推导）。