矩阵基础知识------秩+线性相关和线性无关

秩

矩阵的秩。秩 就是矩阵中 极大线性无关组的向量个数。

也就是 以这个矩阵的元素作为系数的方程组中，线性无关的方程个数。

线性无关，就是 a，b，c个方程中，谁也不能通过自己或者另外两个方程表示谁。

 线性相关和线性无关：

线性相关的意思就是若有一组向量，能有一组不全为0的常数，使得：

，则表示，为[线性相关]的向量。

反之，若要使成立，只能是 的话，那么就表示这组向量[线性无关]。

简单来说就是，在线性相关的向量里，里面每一个向量都可以被其他向量来表示。线性无关的向量，则是里面的向量无法通过其他向量来表示。那这有什么用呢？以下列方程组为例：

能否解出唯一解呢？上过初中的人都知道，4条方程，4个未知数，能解出唯一解。但是！！前提是这四条方程必须是线性无关的。为什么呢？你想想看，如果第一条方程可以通过其余三条表示的话，那意味着，其余三条方程也可以构造出其他方程，那不就变成一生二二生三，三生万物..几条方程可以构造无限方程吗？那就很耍赖啊，要是你通过几条方程变来变去构造出50条方程的话，那难道就能解50个未知数的方程了吗？这显然不行的，所以构造的方程都很水的，只是同样的一些方程，换了衣服而已。所以要解四个未知数的方程组，必须要四条线性无关的方程，其中这四条方程谁也不能表示谁，即谁也不同通过线性变化变成谁。

如上面的方程，如果你将第一个方程的-1、-4、-2倍分别加在随后的各个方程上，再变换一下，就可以得到：

看到没有，后面的两组方程，0=0，说的是废话，所以后面两条方程并没有包含任何信息，是多余的。真正有意义的只有前两条方程。这两个有意义的方程的系数，组成2个系数的向量，这两个向量就是整个方程组的 [极大线性无关组] ，方程组内的所有向量都可以由 这个 [极大线性无关组] 表示。

而 秩 就是 方程组内 极大线性无关组 的向量个数。

那你可能又问了，秩不是矩阵的秩吗？你说的是方程组啊。。。。

方程组的常数系数就是矩阵中的数字。

所以 秩 的大小，表示了这个矩阵所散发出的信息量的多少。