一道几何题的暴力证明

昨天在哆嗒数学的微信群里,网友裴传杰发了一道几何题:

对任意四边形的每条边上均向外做一个正方形,则可以4个对称中心,

求证这4个对称中心所组成的新四边形的两条对角线垂直且相等(但不一定互相平分).

今天闲来无事,用解析几何的坐标法再结合matlab的符号计算把本题搞定了.

下面是证明要点,

设四边形为$ABCD$,四点坐标为(xa,ya),(xb,yb),(xc,yc),(xd,yd).

然后以$AB$为x轴正向建立坐标系,即xa=ya=0,yb=0.|AB|=a

然后设各边中点分别为R,S,T,U

则有

xr=(xa+xb)/2=xb/2 ,

yr=(ya+yb)/2=0

xs=a/2+xc/2

ys=yc/2

xt=(xc+xd)/2

yt=(yc+yd)/2

xu=xd/2

yu=yd/2

再设4个对称中心分别为N,M,Q,P.

然后根据https://blog.csdn.net/faithmy509/article/details/80235631的公式,

根据各边中点和端点的坐标可以计算出对称中心的坐标,具体为

xn=xr-(yb-yr)=a/2
yn=yr+(xa-xr)=-a/2
 
xm=xs-(yb-ys)=a/2 + xc/2 + yc/2
ym=ys+(xb-xs)=a/2 - xc/2 + yc/2
 
 
xq=xt-(yc-yt) =xc/2 + xd/2 - yc/2 + yd/2
yq=yt+(xc-xt)=xc/2 - xd/2 + yc/2 + yd/2
 
xp=xu-(yd-yu)=xd/2 - yd/2
yp=yu+(xd-xu) = xd/2 + yd/2

 

然后计算表达式(xn-xq)^2+(yn-yq)^2-(xp-xm)^2-(yp-ym)^2

和(yq-yn)*(ym-yp)+(xq-xn)*(xm-xp)

结果都为0,

前者说明两线段长度相等，后者说明两线段的斜率互为负倒数，即垂直