Emiya 家今天的饭

一、题目

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二、解法

0x01 暴力
可以考虑搜索，时间复杂度$O(m^n)$，可以拿到$32$分的高分。
考虑$m\le 3$的部分分，直接四维$dp$，定义$dp[i][j][k][l]$为前$i$行分别选$j,k,l$个，转移也不难，时间复杂度$O(n^{4}m)$，可以拿到$60$分的高分。
0x02 正解
首先有一个显然的想法，先考虑第一个条件，然后再容斥第二个条件，考虑题目给的$1/2$，也就意味着我们可以$全部-每种主菜超过1/2的方案数$，易发现这种计算方法不重不漏。
现在就有两种思路，第一种是排列组合的思想，由于给的$a$太恶心，这种方法应该是难做的。既然排列组合做不出来，考虑计数$dp$，我们先枚举钦定的主菜，定义$dp[i][j][k]$为在钦定这种主菜的情况下前$i$行中选$j$个，钦定的主菜选了$k$个，转移略。
这样已经能拿到$84$的高分了，如果你有职业精神，那就继续考虑优化，优化主要是要把$j$那一维给优化掉，考虑改变状态定义$dp[i][k]$为前$i$行的操作权值为$k$的总方案，我们给三种操作赋权值，如果不选，权值为$1$；如果选了其他主菜，权值为$0$；如果选了当前主菜，权值为$2$，可以发现我们最后要求的就是$\sum dp[n][k]$，$(n+1\le k\le 2n)$，转移如下：（$sum$是当前行的$a$求和，我们已枚举了主菜$j$）。

$\{\begin{array}{l}dp[i][k]+=dp[i-1][k]\times (sum[i]-a[i][j])\\ dp[i][k+1]+=dp[i-1][k]\\ dp[i][k+2]+=dp[i-1][k]\times a[i][j]\end{array}$

时间复杂度$O(m{n}^2)$。

#include 
#include 
#define int long long
const int MAXN = 105;
const int MAXM = 1005;
const int MOD = 998244353;
int read()
{
    int x=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0'),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,m,a[MAXN][MAXM*2],sum[MAXN];
int ans=1,dp[MAXN][MAXN*2];
signed main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=read();
            sum[i]+=a[i][j];
            sum[i]%=MOD;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans*=(sum[i]+1),ans%=MOD;
    ans--;
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int k=0;k<=2*n;k++)
                dp[i][k]=0;
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=0;k<=2*n;k++)
            {
                dp[i][k]+=dp[i-1][k]*(sum[i]-a[i][j]),dp[i][k]%=MOD;
                dp[i][k+1]+=dp[i-1][k],dp[i][k+1]%=MOD;
                dp[i][k+2]+=dp[i-1][k]*a[i][j],dp[i][k+2]%=MOD;
            }
        for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
            ans-=dp[n][i],ans%=MOD;
    }
    printf("%lld\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
}