高等代数学习心得

高等代数学习心得

由于课时原因，本科阶段学习高等代数时会跳过很多非常重要的内容，而这些内容又经常出现在考研试题中，为了帮助大家学好代数学，这里将我学习高代的方法与心得写出来。

高代注重整体逻辑性，学习高代需要始终贯穿着一条主线：简化。
简化首先包括化简矩阵，如我们有矩阵与对角矩阵相似的概念；而往往它的要求过于苛刻，那么我们放宽条件，只要求矩阵与一个准对角矩阵相似；若这个条件仍然无法满足，我们还有Jordan标准型这个有力武器，对复数域上任意一个线性变换（请注意线性变换和矩阵的结论是平行的），在V中一定存在一组基，使得该线性变换在这组基下的矩阵为若尔当型。
那么我们会问，什么情况下线性变换会有Jordan标准型？答案是：当线性变换A的最小多项式（极小多项式）能够分解为一次因式的乘积时，那么线性变换A有Jordan标准型。
当然，有的线性变换的最小多项式可以分解为一次因式的乘积，有的不可以。若不可以怎么办？难道我们就找不到它的标准型了吗？当然可以，条件继续放宽，我们不要求线性变换的最小多项式可以分解为一次因式的乘积，于是还有终极武器：矩阵的有理标准型！
我们通过以上分析可以看出：对角矩阵、准对角矩阵、Jordan标准型、有理标准型在思路上都高度类似，都是为了找到矩阵的最简形式。对角矩阵、Jordan标准型、有理标准型都是特殊的准对角矩阵；若准对角矩阵A中的$A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$都是数，那A就变成对角矩阵；若准对角矩阵A中的$A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$都是jordan块，则A变成Jordan标准型；若准对角矩阵A中的$A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$都是友矩阵，则A变成有理标准型。随着条件的放宽，最后任意一个矩阵都可以找到它的标准型……
或者说，我们为什么要学习λ矩阵理论和有理标准型理论？就是为了找到矩阵的最简表示。有了这个思路，我们就可以做到融会贯通。

我们在学习矩阵的秩时，有多少同学思考过这个问题：秩的含义到底是什么？这里给出其几何解释：矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。在这个变换的过程中，向量会发生旋转，伸缩或镜像的变化。矩阵不同，向量变化的结果也会不同。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转效果，那么这些向量就是这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持在某个直线上不转动，只是进行长度上的伸缩而已。

大家在学习特征子空间时，有没有问过自己：为什么特征值的代数重数总是大于等于特征值的几何重数？从直观上理解：因为每个特征值所对应的特征子空间可能会亏损----子空间会重合，子空间重合不是子空间直和，所以特征子空间的维数会变小，造成其维数小于特征值的代数重数。

在线性空间中，我们需要特别注意的是线性空间的同构与空间的分解问题！这是两大核心问题。对同构的理解：若两个具体的空间同构，则可以将这两个空间的结构抽象出来，仅观察其元素个数与运算法则，则这两个空间是一模一样的（都具有相同的空间结构）。
线性空间的分解与对应矩阵的分解的结论是平行的。在一组基下，对线性空间分解就是对它在一组基下的矩阵分解。线性空间的每个子空间$W_i$都对应着矩阵的标准型（是个准对角矩阵）中的每个$A_i$，这个结论非常重要。

我们在学习λ矩阵时，如何求若当标准型是一个重要的问题。课本346页例2的方法是先求初等因子，再确定若当标准型；这个方法有时不一定奏效，因为对$\lambda E-A$进行化简时很可能出错。在丘维声老师写的高等代数学习指导书下册432页定理一中，我们可以直接得出矩阵Jordan标准型中主对角元为${\lambda }_j$的若当块的总数以及t级若当块$J_t({\lambda }_j)$的个数。由此可以直接确定出矩阵的若当标准型！
课本316页定理14，要求“互素的一次因式的乘积”，其实就是“不同的一次因式的乘积”，要求最小多项式的每一项为一次因式。且每一项的次数最高为1次。若写成定理“一次因式的乘积”则表示最小多项式的每一项的次数可以大于1。一定要注意表述，若为“不同的一次因式的乘积”，则A可以和对角矩阵相似；若为“一次因式的乘积”，则A可以和准对角矩阵相似。

高代专项问题

学习高代需要特别注意的几类问题有：矩阵分解问题、矩阵的谱分解问题、矩阵秩等式与不等式、秩一矩阵理论、扩基定理证明、维数公式证明、子空间分解定理证明、根子空间分解定理证明、子空间覆盖定理（课本272页第六章第8节补充题的第5题，极其重要）、线性变换、λ矩阵、线性变换、范数（背会几种常用的范数就行）、同时相似对角化问题、同时正交对角化问题、同时上三角化问题、AX=XA矩阵方程、AX-XB=C矩阵方程、求$A^n$、已知矩阵A求满足A=X^2的矩阵X、Householder变换等等……
矩阵分解是高代课程中的一大类问题，具体包括：满秩分解、QR分解、Schur分解、三角分解、奇异值分解、半正定矩阵的平方分解、极分解。
上面每个定理的证明其实就是一道大题，都很重要，很多定理都是课本上的习题，只不过没有以定理的形式展现出来，但是要注意识别，需要都背会，掌握它们的方法很简单，就是背会，慢慢消化理解；其实建议课本上所有定理的证明都需要背会。

推荐教材

高代课本、丘维声老师的高等代数学习指导书(第二版）（特别推荐）、钱吉林老师的高等代数题解精粹（书中错误较多，需要注意甄别）。建议先把课本后的习题都自己做一遍（不是看一遍答案），然后，钱吉林老师的书上的例题都背会（并不难），丘维声老师的书用来拔高，提高对空间分解、线性变换、λ矩阵等重要内容的理解。
上面内容看似很多，但不用畏惧它，其实只是一些小知识点，需要我们穿起来，形成整体观。希望大二的学生学完数分高代可以继续坚持做题，别丢了基本功，否则到了大三会发现半年时间复习不完数分高代，而十分焦虑。

其他

1.建议合理安排课外时间。不是所有比赛都要参加，如果感觉自己不适合数学建模比赛，就果断放弃！不要再耗费精力做无用功。希望大家对自己有个正确的认识，不要人云亦云，看见别人参加比赛自己也要参加，若数学建模不适合你，就别参加了（其实好多学校复试都不看数学建模成绩）。
但并不是说比赛没用，复试很看重项目、参赛经历，比如有很多学校非常注重能力，初试成绩与复试成绩各占50%，既要求学生初试成绩好，还要平常参加比赛，但我们要参加一些有水平的比赛，适合自己的比赛，如大学生数学竞赛，别在没用的比赛上浪费时间。初试成绩只是一个入场券，复试才是真正的斗兽场。千万别小看复试，觉得只学好初试的几门课就行，认为复试老师随便问些问题就结束了。必须要有项目或比赛经历。
2.学好C语言，并不是所有比赛就要用matlab。C语言也有很多数学库，比如NTL库，PARI/GP，GMP等。可以尝试如何用C++构造一个有限域，并在其上进行运算，或者用C++描绘多项式，实现多项式的运算。
3.再次强调：初试与复试同样重要，各占50%，缺一不可。