洛谷P2257 YY的GCD

题目描述

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

输出格式：

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

输入输出样例

输入样例#1： 

2
10 10
100 100

输出样例#1： 

30
2791

说明

T = 10000

N, M <= 10000000

莫比乌斯反演。。。

设小于 $\min (n,m)$ 质数为 p1​,p2​,…,pk​ ，所求答案可表示为

x=1∑n​y=1∑m​i=1∑k​[gcd(x,y)=pi​]

设 $f(d)$ 表示满足  $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x,y)=d$  且  $1\le x\le n,1\le y\le m$  的 $(x,y)$ 的对数。

设 $g(d)$ 表示满足  $d\mid \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x,y)$  且  $1\le x\le n,1\le y\le m$  的  $(x,y)$  的对数。

显然  g(x)=⌊xn​⌋⌊xm​⌋

g(x)=x∣d∑min(n,m)​f(d)

由莫比乌斯反演可得 f(x)=x∣d∑min(n,m)​μ(xd​)g(d)

我们所求的答案即为 ans=i=1∑k​f(pi​) = i=1∑k​pi​∣d∑min(n,m)​μ(pi​d​)g(d)

观察上式，发现我们枚举 p_ipi​ 的倍数只有  ⌊pi​min(n,m)​⌋  个，因此我们可以通过枚举  pi​  的系数更方便的枚举出所有  pi​  的倍数。

ans = i=1∑k​pi​∣d∑min(n,m)​μ(pi​d​)g(d) = i=1∑k​d=1∑⌊pi​min(n,m)​⌋​μ(d)g(dpi​) = i=1∑k​d=1∑⌊pi​min(n,m)​⌋​μ(d)⌊dpi​n​⌋⌊dpi​m​⌋

我们令 T=dpi​ ，则ans = i=1∑k​d=1∑⌊pi​min(n,m)​⌋​μ(d)⌊dpi​n​⌋⌊dpi​m​⌋ = T=1∑min(n,m)​⌊Tn​⌋⌊Tm​⌋k∣T∑​μ(kT​)

然后用线性筛+前缀和+分块即可AC。

附代码：

#include
#include
#include
#define MAXN 10000010
using namespace std;
int k=0,mu[MAXN],prime[MAXN],s[MAXN],sum[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
	int m=MAXN-10;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!np[i]){
			mu[i]=-1;
			prime[++k]=i;
		}
		for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
			np[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
			else mu[prime[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
	for(int j=1;j*prime[i]<=m;j++)
	s[prime[i]*j]+=mu[j];
	for(int i=1;i<=m;i++)sum[i]=sum[i-1]+s[i];
}
void work(){
	long long ans=0;
	int n,m;
	n=read();m=read();
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int i=1,last=1;i<=n;i=last+1){
		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(long long)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
	make();
	int t=read();
	while(t--)work();
	return 0;
}