bzoj2671: Calc

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　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2671

题解

　　天啊噜！这道题好生麻烦
　　我尽量长话短说。
　　观察一下条件：

(a+b)|ab ( a + b ) | a b

　　我们数论的算法都是和 gcd g c d 有关的，因此肯定要转到 gcd g c d 上来，令 d=gcd(a,b) d = g c d ( a , b ) ， a=xd,b=yd a = x d , b = y d ，写成分数
　　

xyd2d(x+y) x y d 2 d ( x + y )

　　即

xydx+y x y d x + y

　　因为 gcd(x,y)=1 g c d ( x , y ) = 1 ，所以 gcd(x,x+y)=1 g c d ( x , x + y ) = 1 (很显然啊因为提不出公因式)，同理 gcd(y,x+y)=1 g c d ( y , x + y ) = 1 ，因此 gcd(xy,x+y)=1 g c d ( x y , x + y ) = 1 ，所以想要让上式为整数，必有 (x+y)|d ( x + y ) | d 。而这样的 d d 有多少个？先不要匆忙下结论说有 ⌊Nx+y⌋ ⌊ N x + y ⌋ 个，因为 d d 跟 x、y x 、 y 是有关联的。
　　根据条件可以列出以下式子
　　

⎧⎩⎨xd≤Nyd≤Nx+y≤d { x d ≤ N y d ≤ N x + y ≤ d

　　将第三个式子左右同乘以 y y ，得 y(y+x)≤N y ( y + x ) ≤ N
　　而 x x 的最小值是1，因此 y(y+1)≤N y ( y + 1 ) ≤ N 。可以发现， y y 是 N−−√ N 级别的，因此可以枚举。而 d≤⌊Ny⌋ d ≤ ⌊ N y ⌋ ，所以d是有上界的。
　　那么写出答案
　　

ans=∑x=1N√∑y=x+1N√⌊⌊Ny⌋x+y⌋[gcd(x,y)=1] a n s = ∑ x = 1 N ∑ y = x + 1 N ⌊ ⌊ N y ⌋ x + y ⌋ [ g c d ( x , y ) = 1 ]

　　这样的复杂度是稳定的 O(NlogN) O ( N l o g N ) 。那个 log l o g 是求 gcd g c d 时候的复杂度。实际测试：TLE。
　　下面进入丧心病狂的部分，首先进行莫比乌斯反演：
　　

∑x=1N√∑y=x+1N√⌊⌊Ny⌋x+y⌋∑d|gcd(x,y)μ(d) ∑ x = 1 N ∑ y = x + 1 N ⌊ ⌊ N y ⌋ x + y ⌋ ∑ d | g c d ( x , y ) μ ( d )

　　

∑d=1N√μ(d)∑x=1⌊N√d⌋∑y=x+1⌊N√d⌋⌊⌊Nyd⌋(xd+yd)⌋ ∑ d = 1 N μ ( d ) ∑ x = 1 ⌊ N d ⌋ ∑ y = x + 1 ⌊ N d ⌋ ⌊ ⌊ N y d ⌋ ( x d + y d ) ⌋

　　注意这里的 x x 和 y y 已经不是原来的 x x 和 y y 了，现在的 xd x d 和 yd y d 分别对应以前的 x x 和 y y 。
　　

∑d=1N√μ(d)∑x=1⌊N√d⌋∑y=x+1⌊N√d⌋⌊⌊Nyd2⌋x+y⌋ ∑ d = 1 N μ ( d ) ∑ x = 1 ⌊ N d ⌋ ∑ y = x + 1 ⌊ N d ⌋ ⌊ ⌊ N y d 2 ⌋ x + y ⌋

　　这样比原来稍稍快一点，复杂度还是 O(N1.5) O ( N 1.5 ) 实际测试T掉了但是速度的确比原来快了接近10倍（有时候光看复杂度也不可靠啊），跑最大的数据在我的笔记本上只用5s，看来再加一个小优化就差不多能过了呢。
　　丧病的优化，让我想了一整节晚自习，令 s=x+y s = x + y ：
　　

∑d=1N√μ(d)∑y=2⌊N√d⌋∑s=1+y2y−1⌊⌊Nyd2⌋s⌋ ∑ d = 1 N μ ( d ) ∑ y = 2 ⌊ N d ⌋ ∑ s = 1 + y 2 y − 1 ⌊ ⌊ N y d 2 ⌋ s ⌋

　　分块，复杂度变为 O(N1.25) O ( N 1.25 ) ，别看这个复杂度，常数可是极小的，真实的复杂度应该比这个小的多，不过我懒得算了….bzoj上1628s过，最大数据在本机只跑0.4511s

代码

//莫比乌斯反演 
#include 
#include 
#include 
#define maxn 50000
#define ll long long
using namespace std;
ll prime[maxn+10], mu[maxn+10], N, mark[maxn+10];
void init()
{
    ll i, j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
void work()
{
    ll ans=0, d, t, sqrtn=sqrt(N), tmp, y, last, s;
    for(d=1;d*(d+1)<=N;d++)
    {
        tmp=0;
        for(y=2;y<=sqrtn/d;y++)
        {
            t=N/(d*d*y);
            for(s=1+y;s<=y+y-1 and s<=t;s=last+1)
            {
                last=t/(t/s);
                tmp+=(min(last,y+y-1)-s+1)*(t/s);
            }
        }
        ans+=tmp*mu[d];
    }
    printf("%lld",ans);
}
int main()
{
    init();
    scanf("%lld",&N);
    work();
    return 0;
}