BZOJ 3994 约数个数和(莫比乌斯反演)

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BZOJ 3994 约数个数和
题意：
求∑ni=1∑mj=1d(i∗j),定义d(i)为i的约数个数.n,m∈[1,50000]
分析：

ans=∑gcd(i,j)=1⌊ni⌋⌊mj⌋=∑i=1n⌊ni⌋∑j=1m⌊mj⌋

定义g(n)=∑ni=1⌊ni⌋=∑ni=1d(i) ,只需要预处理出 g(n) 就可以在 O(n−−√) 时间范围内解决问题。如果选择分步加速的话，预处理的复杂度是 O(nn−−√) ,但是其实我们考虑每个数 i 的约数个数，然后 g(n) 就是前缀和了。在线性筛时每个合数是被最小质因子筛掉的,我们只需要记录这个每个数 m 最小质因子的幂次 num[m],d[m] 记录 m 的约数个数,显然 d(m) 是积性函数.对于 m=i∗prime[j] ，如果 i % prime[j]！=0 ,根据积性函数性质 num[m]=1,d[m]=d[i]∗d[prime[j]], 否则 num[m]=num[i]+1, 因为 m 的约数个数是: (e1+1)∗(e2+1)∗...∗(ek+1),ei 是质因子分解后各质因子的幂次，我们考虑 m 从 i 的转移过程， m 只比 i 在 prime[j] 的幂次上多 1 ,所以 d[m]=d[i]num[i]+1]∗(num[i]+2) .

亲测 g 如果分步加速预处理 6000+MS, 用线性筛 2000+MS

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using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 50010;

int prime_cnt, prime[MAX_N], mu[MAX_N], num[MAX_N];
ll g[MAX_N], d[MAX_N], sum[MAX_N];
bitset bs;

void GetMu()
{
    bs.set();
    prime_cnt = 0;
    mu[1] = d[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAX_N; ++i) {
        if(bs[i]) {
            prime[prime_cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
            num[i] = 1;
            d[i] = 2;
        }
        for(int j = 0; j < prime_cnt && i * prime[j]  < MAX_N; ++j) {
            bs[i * prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j]) {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
                num[i * prime[j]] = 1;
                d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];
            }else {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                num[i * prime[j]] = num[i] + 1;
                d[i * prime[j]] = d[i] / (num[i] + 1) * (num[i] + 2);
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i < MAX_N; ++i) {
        sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
        g[i] = g[i - 1] + d[i];
    }
}

inline ll solve(int n, int m)
{
    ll res = 0;
    int top = min(n, m), last;
    for(int i = 1; i <= top; i = last + 1) {
        last = min(n / (n / i), m / (m / i));
        res += (sum[last] - sum[i - 1]) * g[n / i] * g[m / i];
    }
    return res;
}

int main()
{
    GetMu();
    int T, n, m;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("%lld\n", solve(n, m));
    }
    return 0;
}