[莫比乌斯反演]YY的GCD[证明已补]

BZOJ2820
莫比乌斯反演模板

证明：
莫比乌斯反演的两种形式：
1.$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$$
2.$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$

在本题中，我们设$f(n)$ 为满足$gcd(a,b)=d$的$(a,b)$的对数
$F(d)$为满足$d|gcd(a,b)$的$(x,y)$的对数
那么得到$F(x)=\frac{n}{d}\ast \frac{m}{x}$
反演上式得：$$f(x)=\sum _{x|d}\mu (\frac{d}{x})F(d)=\sum _{x|d}\mu (\frac{d}{x})\frac{n}{d}\ast \frac{m}{x}$$

d是质数，所以
$$ans=\sum _p^{min(n,m)}(\sum _d^{min(n,m)}\mu (d)\frac{n}{pd}\ast \frac{m}{pd})$$

明显会T，继续优化：
设$T=pd$ 则$$ans=\sum _p^{min(n,m)}\frac{n}{T}\ast \frac{m}{T}(\sum _{p|T}\mu (\frac{T}{p}))$$

所以预处理$T$ 和${\sum }_{p|T}\mu (\frac{T}{p})$，就做完了

Code：

#include
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int res=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*f;
}
const int N=10001000;
int cnt=0,u[N],pt[N],g[N],pri[N],sum[N];
inline void init(){
	memset(pt,0,sizeof(pt));
	u[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!pt[i]){
			pri[++cnt]=i;
			u[i]=-1;
			g[i]=1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt && i*pri[j]<N;j++){
			pt[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]){
				u[i*pri[j]]=-u[i];
				g[i*pri[j]]=u[i]-g[i];
			}
			else{
				u[i*pri[j]]=0;
				g[i*pri[j]]=u[i];
				break;	
			}
		}
	}
	sum[0]=0;
	for(int i=1;i<N;i++) sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}
signed main(){
	init();
	int t=read();
	while(t--){
		int n=read(),m=read();
		if(n>m) swap(n,m);
		int ans=0;
		for(int i=1,last;i<=n;i=last+1){
			last=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}