莫比乌斯反演

补：看到一篇利用多项式相乘的系数来讲解卷积的大佬博客：http://www.txrjy.com/thread-394879-1-1.html

• 链接①
• 链接②
• b站电科大的教学
  先看前两篇了解个大概，第3篇里把所有证明都证了，这3篇看完就差不多了

例题

• OI wiki(含讲解+习题)
  hdoj 1695-----题解
  落谷 p3455----题解
  bzoj 2301—题解
  bzoj 2154(好题）
  落谷p3327 约数个数和 —题解
  落谷p3768
• 应用

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后面的都是开始学的时候的一些笔记（含错误）等

• 杜教筛内含莫比乌斯反演
• 看完这两篇在看b站上的视频会更有感觉,也可交互着看 视频传送门
• 百度百科上也有相关定义，性质及证明：莫比乌斯反演
• 应用
• 贾志鹏线性筛论文
  链接①对于这段还是有点不太理解
  
  下面是自己的手动模拟
  $$\begin{gathered} 先考虑\frac{x}{y_i}=p_1^2的情况,则有\frac{x}{y_j}=p_1已经对f(y_i)作了一次-1标记，则确定a_i=0 \\ 若\frac{x}{y_i}=p_1^2{p}_2,则有在\frac{x}{y_i}=p_1{p}_2基础上多了\frac{x}{y_j}=p_1^2和\frac{x}{y_j}=p_1{p}_2,分别贡献了0和(-1{)}^s{C}_s^s(s=2) \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} (-C_s^1+C_s^2-C_s^3\cdots (-1{)}^{s-1}{C}_s^{s-1})+0+(-1{)}^s{C}_s^s \\ =-1 \end{gathered}$$
  $则确定a_i=0$
  $$\begin{gathered} 若\frac{x}{y_i}=p_1^2{p}_2{p}_3,则有在\frac{x}{y_i}=p_1{p}_2{p}_3基础上多了\frac{x}{y_i}=p_1^2,p_1^2{p}_2,p_1^2{p}_3,(可以发现多出的部分就是在原来的p_1^1变成p_1^2)和p_1{p}_2{p}_3,分别贡献了0,0,0,和(-1{)}^s{C}_s^s(s=3),最终a_i还是等于0 \\ 然后依次类推下去，凡是多出的部分含平方因子的贡献都为0（感觉有点像0乘任何数都等于0的感觉，积性？不太清楚） \end{gathered}$$
  对于链接②中的：
  （其中的开头用分数举例部分对于求分子分母都属于[1,n]，化简后，求第k大的分数，可以搞一搞）
  
  首先看等式左边：

$$\begin{gathered} 令d^{\prime }=\frac{m}{d} \\ \because d|m,\therefore d^{\prime }|m，有d=\frac{m}{d^{\prime }} \\ 等式左边=\sum _{\frac{m}{d^{\prime }}|m}(\mu (d^{\prime })\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}f(k)) \\ 假设m的因子有t个，从小到大分别为d_1,d_2,\cdots ,d_k \end{gathered}$$

$$等式左边=\sum _{\frac{m}{d^{\prime }}|m}(\mu (d^{\prime })\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}f(k))$$
$$表一$$

$d^{\prime }$	$d_1$	$d_2$	$\cdot$	$\cdot$	$d_{k-1}$	$d_k$
$\frac{m}{d^{\prime }}$	$d_k$	$d_{k-1}$	$\cdot$	$\cdot$	$d_2$	$d_1$
$k$	$k$|$d_k$	$k$|$d_{k-1}$	$\cdot$	$\cdot$	$k$|$d_2$	$k$|$d_1$

$$因此，等式左边=\sum _{d^{\prime }|m}(\mu (d^{\prime })\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}f(k))$$

再来看等式右边：
$$\sum _{k|m}\sum _{d|\frac{m}{k}}\mu (d)f(k)$$
不难得出（从k开始看）
$$表二$$

$d$	$d$|$d_k$	$d$|$d_{k-1}$	$\cdot$	$\cdot$	$d$|$d_2$	$d$|$d_1$
$\frac{m}{k}$	$d_k$	$d_{k-1}$	$\cdot$	$\cdot$	$d_2$	$d_1$
$k$	$d_1$	$d_2$	$\cdot$	$\cdot$	$d_{k-1}$	$d_k$

可以发现表一和表二就是d(d’)和k互换了位置，链接②中是用的m=12举例的。
下面重述一下链接中的证明：(有点理解不了，自己写的证明有点模糊）

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等式左边：
$$等式左边=\sum _{d|m}(\mu (\frac{m}{d})\sum _{k|d}f(k))$$

$$\begin{gathered} 因为d|m,k|d,所以对于指定的k，m和d都是k的倍数 \\ 所以等式左边就是找出所有满足条件的d,k(这个想一下，还是可以理解的） \\ 令d^{\prime }=\frac{m}{d}，\because d|m,\therefore d^{\prime }|m \\ 那么等式左边=\sum _{d^{\prime }|m}(\mu (d^{\prime })\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}f(k)) \\ =\sum _{d^{\prime }|m}\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}(\mu (d^{\prime })f(k)) \\ 再来观察下等式右边：\sum _{k|m}\sum _{d|\frac{m}{k}}\mu (d)f(k) \\ 易得d^{\prime }，d和k的集合都是m的因子 \\ (如果不太了解的话可以结合表一和表二，)要使等式成立， \\ 就得证明在等式左边\sum _{d^{\prime }|m}\sum _{k|\frac{m}{d^{\prime }}}(\mu (d^{\prime })f(k))中，对于指定的k，d^{\prime }的集合是d^{\prime }|\frac{m}{k} \\ \because d^{\prime }=\frac{m}{d},d=nk,则m=d^{\prime }\cdot n\cdot k, \\ \therefore d^{\prime }\cdot n=\frac{m}{k} \\ 现在只要:对于指定的k,证明n的集合是n|\frac{m}{k}.就可证明d^{\prime }的集合是d^{\prime }|\frac{m}{k}。感觉又回到原点 \end{gathered}$$

例题：

参考资料

• 链接①
• 链接②
• b站视频传送门
• 百度百科上也有相关定义，性质及证明：莫比乌斯反演
• 应用
• 贾志鹏线性筛论文