实Jordan标准形的推导

PS：
过了很久再复习以前的知识，感觉其实说复杂了。只需注意到把实矩阵$A$放到复数意义下有两个共轭特征值，再利用共轭来构造一组基就好了。

众所周知，任意复矩阵有惟一Jordan标准形。对于实矩阵，设其初等因子为$p_1^{s_1}(\lambda ),...,p_n^{s_n}(\lambda )$，影响构造Jordan块的只有形如$(x^2+px+q{)}^n$形式的初等因子，其中$p^2-4q<0$，接下来对这类初等因子做构造。

1.对$V$复化

将原$\mathbb{R}$上$n$维线性空间$V$复化为$\mathbb{C}$上线性空间$V_{\mathbb{C}}$，即$V_{\mathbb{C}}=\{x+iy\mid x,y\in V\}$，加法、数乘、共轭等均同复数类似。则有$\dim V_{\mathbb{C}}=n$。

2.考虑零化多项式

先考虑特殊情况。设$m=\frac{n}{2}$，$\mathcal{A}$是$V$上线性变换，$\lambda$矩阵的初等因子为$(x^2+px+q{)}^m$。
定义${\mathcal{A}}_{\mathbb{C}}(x+iy)=(\mathcal{A}x+i\mathcal{A}y)$。
由此时的初等因子是特征多项式知$(x^2+px+q{)}^m$零化$\mathcal{A}$，从而零化${\mathcal{A}}_{\mathbb{C}}$。
设其两共轭根为$z,\overline{z}$，由根子空间性质知$\forall k>0$，$\ker (\mathcal{A}-zI{)}^k$,$\ker (\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^k$相交为空，且由共轭性质知其维度相同。
故相应的各阶若当块的大小相同且基不相交。

3.构造基

考虑$(\mathcal{A}-zI{)}^m$与$(\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^m$的根子空间，利用幂零矩阵性质可构造分别对应的基
$\{a_1,(\mathcal{A}-zI)a_1,\cdots ,(\mathcal{A}-zI{)}^{n_1}{a}_1,\cdots ,a_r,\cdots ,(\mathcal{A}-zI{)}^{n_r}{a}_r\}$
和
$\{{\overline{a}}_1,(\mathcal{A}-\overline{z}I){\overline{a}}_1,\cdots ,(\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^{n_1}{\overline{a}}_1,\cdots ,{\overline{a}}_r,\cdots ,(\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^{n_r}{\overline{a}}_r\}$
由上述过程，$a_1,(\mathcal{A}-zI)a_1,\cdots ,(\mathcal{A}-zI{)}^{n_1}{a}_1,{\overline{a}}_1,(\mathcal{A}-\overline{z}I){\overline{a}}_1,\cdots ,(\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^{n_1}{\overline{a}}_1$张成一个子空间。

设$(\mathcal{A}-zI{)}^i{a}_1=x_i+i{y}_i$，则$(\mathcal{A}-\overline{z}I{)}^i{\overline{a}}_i=x_i-i{y}_i$，可知在$x_{n_1},y_{n_1},\cdots ,x_1,y_1$下矩阵如下：
$\left(\begin{array}{cccccccccc}a& b& 1& 0& & & & & & \\ -b& a& 0& 1& & & & & & \\ & & a& b& 1& 0& & & & \\ & & -b& a& 0& 1& & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & & a& b& 1& 0\\ & & & & & & -b& a& 0& 1\\ & & & & & & & & a& b\\ & & & & & & & & -b& a\end{array}\right)$

以上即为实若当块，由构造可知任何实矩阵均可相似于若干实若当块组成的对角矩阵。