中国剩余定理

前置知识：

　　逆元定义：满足ax≡1(mod m)的整数x为a对模m的数论倒数或逆元，记为a-1(mod m)或a-1（百度搜索数论倒数）

　　还有取模意义下的各种运算（其实跟不取模的也没有太大差异，但是小部分还是有差异的，例如除法，这个还是自己百度吧，这里不赘述了）

行，那我们来正式开始中国剩余定理

它讲了这么一个事：求最小的数使它除以3余2，除以5余1，除以7余2

根据已知条件，我们可以得到如下结论

　　x%3=2

　　x%5=1

　　x%7=2

抽象成为：

　　x%m1=a1

　　x%m2=a2

　　x%m3=a3

　　......

 

于是有如下思路：找1个模m1等于a1,模m2等于a2....的数不容易，那我们就先找模m1余a1，模其它数余0的数，最后再调整到满足所有条件的

但其实这样的也不好找，那就简化成模m1余1（这不就是逆元嘛），模其它数余0的数，最后再调整到余a1

 

实际操作如下：

先找模m1余1，模其它数余0的数

记M=m1*m2*m3*...mn;

则m2*m3*...mn=M/m1，记为M1；//为了使M1（最终结果的一部分）模m2,m3...mn等于0

记t1为M1在模m1意义下的逆元//这样就使M1*t1模m1等于1，继承上面，模m2,m3...mn等于0

那么我们就完成了第一步

接下来给t1*M1乘上a1我们就可以得到模m1余a1的数了（M1*t1%m1=1-->M1*t1*a1%m1=a1)

记M1*t1*a1=x1

第二步就完成了

接下来对每一对ai,mi都进行如上操作，得到x1,x2,x3...xn;

将x1,x2,x3..xn相加得到最终结果x0

最后的最后需要将x0 mod M才能得到x，为了把x0调整为最小的数（这里还可以证明：在1-M的范围内，有且仅有一个x满足上述条件，证明可用反证法，假设有2个，最后相减等于0，证明2解相等，即为1解）

接下来是模板

//a[i]一定要互质才行！！！！ 
#include
#include
#include
#include
#define int long long
using namespace std;
int a[15],b[15],n,ls,y,x,mod;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩欧求逆元
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
signed main()//因为上面#define int long long了 
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);//模a[i]余b[i]
    mod=1;   
    for(int i=1;i<=n;i++) mod*=a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int kkk=mod/a[i];
        exgcd(a[i],kkk,ls,y);
        x=(x+y*kkk*b[i])%mod;
    }
    int ans=(x+mod)%mod;
    printf("%lld",ans);
} 

行了，我的坑填完了

液！( •̀ ω •́ )y

转载于:https://www.cnblogs.com/xiaojuA/p/9873632.html