泛函分析 第一章 2 距离空间的基本概念(1) 笔记

基本定义要清晰




只需证明三角不等式，对于 $({\mathbb{R}}^n,d_1)$ 来说，要证明：

$$\begin{array}{rl}{d}_1(x,y)& \le d_1(x,z)+d_1(z,y)\\ \sum _{k=1}^n|{\xi }_k-{\eta }_k|& \le \sum _{k=1}^n|{\xi }_k-{\zeta }_k|+\sum _{k=1}^n|{\zeta }_k-{\eta }_k|\end{array}$$
根据绝对值不等式，对 $\forall k\in [1,n]$，有 $|{\xi }_k-{\eta }_k|\le |{\xi }_k-{\zeta }_k|+|{\zeta }_k-{\eta }_k|$，因此上式成立。

对于 $({\mathbb{R}}^n,d_{\infty })$ 来说，

$$\begin{array}{rl}\max \{|{\xi }_k-{\zeta }_k|\}+\max \{|{\zeta }_k-{\eta }_k|\}& \ge \max \{|{\xi }_k-{\zeta }_k|+|{\zeta }_k-{\eta }_k|\}\\ & \ge \max \{|{\xi }_k-{\eta }_k|\}\end{array}$$

因此三角不等式成立。

首先 $l^{\infty }$ 非负、对称，仅在 $x=y$ 时为零，因此只需证三角不等式，即证：

$$\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\xi }_j-{\eta }_j|\}\le \underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\xi }_j-{\zeta }_j|\}+\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\zeta }_j-{\eta }_j|\}$$

类似地有：

$$\begin{array}{rl}\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\xi }_j-{\zeta }_j|\}+\underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\zeta }_j-{\eta }_j|\}& \ge \underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\xi }_j-{\zeta }_j|+|{\zeta }_j-{\eta }_j|\}\\ & \ge \underset{j\in \mathbb{N}}{\sup }\{|{\xi }_j-{\eta }_j|\}\end{array}$$

证毕。