线性代数-逆矩阵

一、逆矩阵的概念

利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组

令A＝   X＝   B＝

则方程组可写成AX=B.

方程AX=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。

这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a^-1b，矩阵方程AX=B的解是否也可以表示为X=A^-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A^-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。

定义11  对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A^-1，即C=A^-1。

例如     

因为  AC==

CA==

所以C是的A逆矩阵，即C=A^-1。

由定义可知，AC=CA=E，C是A的逆矩阵，也可以称A是C的逆矩阵，即A=C^-1。因此，A与C称为互逆矩阵。

可以证明，逆矩阵有如下性质：

（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。

（2）若A可逆，则(A^-1)^-1=A.

（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1

（4）若A可逆，则detA≠0。反之，若detA≠0，则A是可逆的。

证  （1）如果B、C都是A的逆矩阵，则

C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B

即逆矩阵唯一。

其它证明略。

二、逆矩阵的求法

1、用伴随矩阵求逆矩阵

定义12  设矩阵

A=

所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵

称为A的伴随矩阵，记为A^*。

显然，AA^＊=

仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为

由行列式按一行（列）展开式可知

=

所以       AA^＊==detAE    （1）

同理  AA^＊=detAE=A^＊A

定理3  n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且

A^-1=A^＊=

证  必要性：

如果A可逆，则A^-1存在使AA^-1=E，两边取行列式det(AA^-1)= detE,即detAdetA^-1=1,因而detA≠0,即A为非奇异矩阵。

充分性：

设A为非奇异矩阵，所以detA≠0，由（1）式可知A(A^＊)= (A^＊)A=E

所以A是可逆矩阵。

且A^-1=A^＊

例1  求矩阵A=的逆矩阵。

解  因为detA=,所以A是可逆的。又因为

    

    

    

所以A^-1=A^＊=

=

2、用初等变换求逆矩阵

用初等变换求一个可逆矩阵A的逆矩阵，其具体方法为：把方阵A和同阶的单位矩阵E，写成一个长方矩阵，对该矩阵的行实施初等变换，当虚线左边的A变成单位矩阵E时，虚线右边的E变成了A^-1即

从而可求A^-1。

例2  用初等变换求

的逆矩阵。

解  因为 =

所以 A^-1=

例3 解线性方程组

解  方程组可写成

=

设A=  X=  B=  则AX=B

由例2知A可逆，且A^-1=

所以X=A^-1B，即=A^-1B==

于是，方程组的解是

习题 12--6

1、用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：

（1）   （2）   （3）

2、用初等变换求逆矩阵：

（1）   （2）   （3）

（4）

3、解矩阵方程

（1）X

（2）

（3）

（4）

4、解线性方程组

（1）

（2）