线性方程组（五）- 线性方程组的解集

小结

1. 齐次线性方程组的定义。
2. 解集的参数向量形式。
3. 非齐次线性方程组的解。

---

齐次线性方程组

线性方程组称为齐次的，若它可写成$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的形式，其中$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵而$0$是${\mathbb{R}}^m$中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即$\mathbf{x}=0$（${\mathbb{R}}^n$中的零向量），这个解称为它的平凡解。对给定方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，重要的是它是否有非平凡解，即满足$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的非零向量$\mathbf{x}$。

齐次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量。

确定齐次方程组$\{\begin{array}{l}3x_1+5x_2-4x_3=0\\ -3x_1-2x_2+4x_3=0\\ 6x_1+x_2-8x_3=0\end{array}$是否有平凡解，并描述它的解集。
解：令$\mathbf{A}$为该方程组的系数矩阵，用行化简算法把增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\end{array}\right]$化为阶梯形
$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ -3& -2& 4& 0\\ 6& 1& -8& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 9& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
因为$x_3$是自由变量，故$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有平凡解（对$x_3$的每一个选择都有一个解）。为描述解集，继续把$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\end{array}\right]$化为简化阶梯形：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{4}{3}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\{\begin{array}{l}{x}_1=frac43x_3\\ x_2=0\\ x_3为自由变量\end{array}$
$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的通解有向量形式
$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}{x}_3\\ 0\\ x_3\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right]=x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
注意，非平凡解向量$\mathbf{x}$可能有些零元素，只要不是所有元素都是0即可。

描述齐次方程组$\{\begin{array}{l}10x_1-3x_2-2x_3=0\end{array}$的解集。
解：这里无须矩阵记号。用自由变量$x_2$和$x_3$表示基本变量$x_1$。通解为:
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.3x_2+0.2x_3\\ 0\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.3x_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.2x_3\\ 0\\ 0\end{array}\right] \\ =x_2\left[\begin{array}{c}0.3\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0\\ 0\end{array}\right] \\ =x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}0.3\\ 0\\ 0\end{array}\right]，\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0\\ 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

齐次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$总可表示为Span{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}，其中${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$是适当的解向量。若唯一解是零向量，则解集就是Span{$0$}；若方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$仅有一个自由变量，则解集是通过原点的一条直线。若有两个或更多个自由变量，则解集是通过原点的平面。

上述方程$\{\begin{array}{l}10x_1-3x_2-2x_3=0\end{array}$是平面的隐式描述，解此方程就是要找这个平面的显示描述（$\mathbf{x}=x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$），就是说将它作为$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的子集。
显示描述称为平面的参数向量方程，记为$\mathbf{x}=s\mathbf{u}+t\mathbf{v}(s,t为实数)$。当解集用向量显示表示，我们称之为解的参数向量形式。

非齐次方程组的解

描述$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解，其中$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& -4\\ -3& -2& 4\\ 6& 1& -8\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}7& -1& -4\end{array}\right]$
解：对$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array}\right]$作行变换得
$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 7\\ -3& -2& 4& -1\\ 6& 1& -8& -4\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{4}{3}& -1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
把每个基本变量用自由变量表示：$\{\begin{array}{l}{x}_1-\frac{4}{3}=-1\\ x_2=2\\ 0=0\end{array}$
$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解可写成向量形式
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1+\frac{4}{3}{x}_3\\ 2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}{x}_3\\ 0\\ x_3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
方程$\mathbf{x}=\mathbf{p}+x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，或用$t$表示自由变量，$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$就是用参数变量形式表示的$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集。

注意：第一个例子齐次方程组$\{\begin{array}{l}3x_1+5x_2-4x_3=0\\ -3x_1-2x_2+4x_3=0\\ 6x_1+x_2-8x_3=0\end{array}$的系数矩阵和上诉例子的系数矩阵是同一矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}3& 5& -4\\ -3& -2& 4\\ 6& 1& -8\end{array}\right]$。两个方程的参数形式的$\mathbf{v}$是相同的。故$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解可由向量$\mathbf{p}$加上$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解得到，向量$\mathbf{p}$本身也是$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个特解。

为了从几何上描述$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集，我们可以把向量加法解释为平移。
设$\mathbf{L}$是通过$0$与$\mathbf{v}$的直线。$\mathbf{L}$的每个点加上$\mathbf{p}$得到$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$表示的平移后的直线。注意$\mathbf{p}$也在平移后的直线上。称$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$为通过$\mathbf{p}$平行于$\mathbf{v}$的直线方程。综上，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集是一条通过$\mathbf{p}$而平行于$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解集的直线。

设方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$对某个$\mathbf{b}$是相容的，$\mathbf{p}$为一个特解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集是所有形如$\mathbf{w}=\mathbf{p}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{h}}$的向量的集，其中${\mathbf{v}}_{\mathbf{h}}$是齐次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的任意一个解。
注意：仅适用于方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$至少有一个非零解$\mathbf{p}$的前提下。当$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$无解时，解集是空集。

把（相容方程组的）解集表示称参数向量形式：

1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形矩阵。
2. 把每个基本变量用自由变量表示。
3. 把一般解$\mathbf{x}$表示称向量，如果有自由变量，其元素依赖于自由变量。
4. 把$\mathbf{x}$分解为向量（元素为常数）的线性组合，用自由变量作为参数。