线性方程组之四：例子

上回说到求解线性方程组的一般方法: 高斯消去法. 这一回我们来看一些具体的例子, 把高斯消去法练熟. 记得以前有篇课文叫卖油翁, 讲的是一个卖油的老头可以从铜钱的孔里将油倒过去, 而不粘湿钱. 别人都觉得很厉害, 问老头有什么诀窍, 老头说: 无他，唯手熟尔. 学数学也一样, 所谓熟能生巧, 练的多了自然也就会了. 好了, 不说废话了, 我们进入正题.

看这个方程组:
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2-3x_4-x_5 = -2\\
&x_1-x_2+2x_3-x_4 = 1\\
&4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5 = 7\\
&2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5 = 1
\end{split}
\right..
\]
首先对第一列利用高斯消去法, 得到
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0-6x_2+6x_3+15x_4+0 = 15\\
&0+2x_2-2x_3+10x_4-5x_5 = 5
\end{split}
\right..
\]
然后对第二列利用高斯消去法, 得到
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+9x_4-3x_5 = 6\\
&0+0+0+12x_4-4x_5 = 8
\end{split}
\right..
\]
然后对第三行和第四行分别除以\(3\)和\(4\) (这称为第二类初等变换), 得到
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2
\end{split}
\right..
\]
然后对第四列接着用高斯消去法
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2\\
&0+0+0+0+0 = 0
\end{split}
\right..
\]
我们得到了一个冗余的方程 (最后一个方程), 可以把它丢弃.
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2
\end{split}
\right..
\]
然后第二行和第三行分别乘以一个系数使得不为\(0\)的首项系数为\(1\).
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0+x_2-x_3-x_4-\frac{1}{2}x_5 = -\frac{3}{2}\\
&0+0+0+x_4-\frac{1}{3}x_5 = \frac{2}{3}
\end{split}
\right..
\]
然后把第三行往上加消去\(x_4\), 
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2+0-2x_5 = 0\\
&0+x_2-x_3-\frac{5}{6}x_5 = -\frac{5}{6}\\
&0+0+0+x_4-\frac{1}{3}x_5 = \frac{2}{3}
\end{split}
\right..
\]
再把第二行乘以\(-1\)加到第一行, 
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_3-\frac{7}{6}x_5 = \frac{5}{6}\\
&x_2-x_3-\frac{5}{6}x_5 = -\frac{5}{6}\\
&x_4-\frac{1}{3}x_5 = \frac{2}{3}
\end{split}
\right..
\]
这样就解得
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1 = \frac{5}{6}-x_3+\frac{7}{6}x_5\\
&x_2 = -\frac{5}{6}+x_3+\frac{5}{6}x_5\\
&x_4 = \frac{2}{3}+\frac{1}{3}x_5
\end{split}
\right..
\]
其中\(x_3,x_5\)是自由变量, 方程组解有无限多个.

如果这个能理解了, 不妨来求解下面的方程组
\[
\left\{
\begin{split}
&\qquad x_2+x_3+x_4 = 3\\
&x_1\qquad+x_3+x_4 = 3\\
&x_1+x_2\qquad+x_4 = 3\\
&x_1+x_2+x_3\qquad = 3
\end{split}
\right..
\]
留作练习.