7.24 同余定理+逆元

1.同余定理

1.1定义

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。

数学上的记法为：

a≡ b(mod d)

可以看出当n

对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a和b是模d同余的.

(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

(3) d整除a-b.

可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的.

1.2主要性质
数学表述：
加法 (a+b)%c=(a%c+b%c)%c
乘法  (a*c)%c=(a%c*b%c)%c
性质证明(加法)
a = k1*m+r1 ，b = k2*m+r2
(a+b)%m=(( k1*m+r1 )+( k2*m+r2 ))%m
= (( k1+k2 )*m+( r1+r2 ))% m
= (r1+r2 )%m
= (a%m+b%m)% m

1.3应用： 高精度取模

    1.3.1高精度对单精度取模

    一个高精度数a对一个数b取余，可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。

    比如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。

#include
#include
using namespace std;

int main(){
string a;
int b;
cin >> a >> b;
int len = a.length();
int ans = 0;
for(int i = 0; i < len; i++){
ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}

  1.3.2快速幂取模

（详细的快速幂取模https://wenku.baidu.com/view/d65f294702768e9951e73883.html）

    将幂拆解为多个底数的平方次的积，如果指数为偶数，把指数除以2，并让底数的平方次取余，如果指数为奇数，就把多出来的底数记录下来，再执行偶数次的操作。

我们先将b按2进制展开假设b = 10, 那么b的二进制为1010，也就是0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3 = 10；

所以 a^b = a^(0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3 ) = a^(2^1) * a(2^3)；这种简单的转换在初中就学过了吧，相信大家都懂

所以a^b%c = a^(2^1) * a(2^3) % c =( a^(2^1) % c) * (a(2^3)%c)%c；

//给出3个正整数A B C，求A^B Mod C。
  例如，3 5 8，3^5 Mod 8 = 3。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll PowerMod(ll a, ll b, ll c)        //快速幂取余
{
    ll ans = 1;
    a = a % c;             //预处理，防止出现a比c大的情况
    while(b)           //b=0，return 1
    {
	    if(b&1)          //最低位为奇数
	    {
		    ans = (ans *a )% c;
	    }
	    b >>= 1;
	    a = (a * a) % c;
    }
return ans;
}

int main()
{
	ll a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;
	cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
	return 0;
}

补充：1.同余满足等价关系。具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

2.逆元

定义：设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；
推论：(a/b)mod m = (a/b)*1mod m = (a/b)*b*c mod
m=a*c(mod m); 即a/b的模等于a*(b的逆元)的模

2.1费马小定理求解逆元

限制：a，p互质.p为质数
代码实现，复杂度Olog(n)

LL pow_mod(LL a, LL b, LL mod){//a的b次方求余p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于p的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

 

2.2扩展欧几里得

算法作用：求解a,b 最大公约数m 和a*x+b*y=m 的一个解
实现方法：辗转相除法;
采用递归思想，当b=0时停止递归，此时x=1,y=0;回溯后会
得到一组关于二元一次方程的解

证明
考虑两个方程
:a*x1+b*y1=gcd(a,b),  b*x2 +(a%b)* y2=gcd(b,a%b)
\ 由辗转相除法可得到gcd(a,b)= gcd(b,a%b)
\ 从而得到a*x1+b*y1=b*x2 +(a%b)* y2
\ 即           a*x1+b*y1=b*x2 +(a -(a/b)*b)* y2
\                                =a*y2+b*(x2 -(a/b)* y2)
\ 所以x1=y2 ,y1=x2 -(a/b)* y2.

a*x≡1(mod m) 等价于a*x+m*y=1 可以用扩展欧几里得求
得一组解，（x+m)mod m即为a的逆元

代码实现

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{//推理，终止条件1
x = 1;
y = 0;
return a;
}


int r = exgcd (b, a%b, x, y);
int t = y;
y = x - (a/b) * y;//相当于y1=x2-(a/b)*y2
x = t;  //相当于x1=y2 
return r; //最大公约数
}
//返回r=gcd(a,b);和对应于等式ax+by=d中的x,y 
//解x就是a关于b的逆元，解y就是b关于a的逆元
//求2对于1e9+7的逆元就是 exgcd(2, 1e9+7, x, y),其中x的值就是inv2

-

a*x + b*y = 1 如果ab互质，有解   这个解的x就是a关于b的逆元 y就是b关于a的逆元 为什么呢？   你看，两边同时求余b   a*x % b + b*y % b = 1 % b a*x % b = 1 % b a*x = 1 (mod b)   你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/) 所以x是a关于b的逆元

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#include
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
 if(!b)
 {
  x=1;
  y=0;
  return a;
 }
 int r=exgcd(b,a%b,x,y);
 int t=x;
 x=y;
 y=t-(a/b)*y;
 return r;
} 
int main()
{
 int a,b,x,y;
 scanf("%d %d",&a,&b);
 int c=exgcd(a,b,x,y);//最大公约数
 printf("%d %d\n",c,(x+b)%b);
 return 0;
}