FWT——学习笔记

什么是FWT？

我们知道普通的卷积是这样的：

Ci=∑j+k=iAj∗Bk

我们用FFT可以加速这一过程。
现在我们把 + 改成某位运算，成了位运算的卷积:

Ci=∑j⊕k=iAj∗Bk

FWT就是用于解决这种卷积的。

具体思想

考虑一个变换：

DWT(A)i=∑j=0n−1Aj∗f(i,j)

如果我们能找到这样一个变化系数 f(i,j) ,使得
DWT(A)i∗DWT(B)i=DWT(C)i(C是A与B的位运算卷积) ,
就能类似FFT一样，先转换，再乘，再逆转换。关键在 f(i,j) 如何构造。
带入一下，上面那个条件其实就等价于： f(i,j)∗f(i,k)=f(i,j⊕k) 。

直接给出构造：
⊕为与： f(i,j)=[i&j=i]
⊕为或： f(i,j)=[i&j=j]
⊕为异或： f(i,j)=(−1)cnt(i&j) (count(x)表示x二进制下1的个数)
并不知道是怎么来的，但是容易验证是对的。

这些构造都有一个重要的性质，二进制每位都是独立的，可以拆开:
f(i,j)=f(i1,j1)∗f(i2,j2)∗...∗f(ik,jk)
下面我们就要考虑如何快速变换了，先将n补到2的次幂，每次把数列分成两半：

DWT(A)i=∑j=0n−1Aj∗f(i,j)

=∑j=0n/2−1Aj∗f(i,j)+∑j=n/2n−1Aj∗f(i,j)

=∑j=0n/2−1Aj∗f(i0,j0)∗f(i1,j1)+∑j=n/2n−1Aj∗f(i0,j0)∗f(i1,j1)

=f(i0,0)∗∑j=0n/2−1Aj∗f(i1,j1)+f(i0,1)∗∑j=n/2n−1Aj∗f(i1,j1)

=f(i0,0)∗DWT(A[0])i1+f(i0,1)∗DWT(A[1])i1

是不是和FFT很像啊，核心就是：
DWT(A)i=f(0,0)∗DWT(A[0])i+f(0,1)∗DWT(A[1])i
DWT(A)i+n/2=f(1,0)∗DWT(A[0])i+f(1,1)∗DWT(A[1])i
(i=0...n/2−1)
递归求解，可以做到 O(nlogn) 。
关于逆转换，其实很简单，直接把之前的过程反着执行一遍即可,相当于解一个二元一次方程。

下面是模板：

#include
#include
using namespace std;

void FWT(int a[],int n,int _k){    
    for(int m=2;m<=n;m<<=1) 
     for(int i=0;i<=n-1;i+=m)    
      for(int j=0;j<=m/2-1;j++){
        int t0=a[i+j], t1=a[i+j+m/2];    
        if(_k==1){
            //xor:a[i+j]=t0+t1,a[i+j+m/2]=(t0-t1+mod)%mod;    
            //and:a[i+j]=t0+t1;    
            //or:a[i+j+m/2]=t0+t1;   
        } else{
            //xor:a[i+j]=(t0+t1)/2,a[i+j+m/2]=(t0-t1)/2;    
            //and:a[i+j]=t0-t1;    
            //or:a[i+j+m/2]=t1-t0;
        }
    } 
}    
int main(){
    freopen("fwt.in","r",stdin);
    freopen("fwt.out","w",stdout);
    return 0; 
}