[SDOI2014]重建

一、题目

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二、解法

本体考察了矩阵树的扩展，他不仅仅能求生成树个数，其实它的本质是求所有生成树的边权乘积的和，生成树个数是边权为$1$的特殊情况罢了。

形式化地说，矩阵树定理求的是这个：
$$\sum _T\prod _{e\in T}{p}_e$$但是本题要求只选$n-1$条边，每条边有$p_e$可能出现，所以求的是这个：
$$\sum _T(\prod _{e\in T}{p}_e\prod _{e\notin T}(1-p_e))$$做一下等价变换：
$$\prod (1-p_e)(\sum _T\prod _{e\in T}\frac{p_e}{1-p_e})$$重新定义这个概率，然后就是矩阵树定理的板子了。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int M = 55;
#define db double
int read()
{
    int num=0,flag=1;
    char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n;db ans,x,a[M][M];
void guass()
{
	n--;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int mx=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(a[mx][i]<a[j][i])
				mx=j;
		if(mx!=i)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
				swap(a[mx][j],a[i][j]);
		}
		if(!a[i][i])
		{
			puts("0");
			return ;
		}
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			db t=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=n;k++)
				a[j][k]-=a[i][k]*t;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans*=a[i][i];
	printf("%f\n",abs(ans));
}
signed main()
{
	n=read();ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%lf",&x);
			if(i>=j) continue;
			if(x==1) x-=1e-10;
			ans*=(1-x);
			db t=x/(1-x);
			a[i][i]+=t;a[j][j]+=t;
			a[i][j]-=t;a[j][i]-=t;
		}
	guass();
}