线性代数第一章

之前本科学习线性代数，始终不得要领，现在接触《线性代数及其应用》，重新学习线性代数。

1  线性方程组

 

1.1 问题

• 线性方程组是什么？

            多个方程，且具有多个未知数。

• 两个线性方程组等价意味什么？

             特别的例子： 两条直线的交叉点，相交有同样的解。

• 线性方程组的解有几种情况？

                无解，唯一解，无穷多解。

   

 

 

• 而线性方程组所包含的主要信息可以用一个矩阵描述，如

   可以转换成

右边即为系数矩阵，而为增广矩阵。

 

 

• 如何解线性方程组？

       一般有倍加变换、对换变换、倍乘变换等。

         那为什么线性方程组经过这些变换得到的结果就是真实结果呢？

例子

经过变换成为

那么

上述，我们可以将x1，x2，x3对应于x，y，z形成的。每一个方程都是一个平面，那么3个平面相交点就是解了。这就是几何解释

 

 

• 如何判断方程组有多少解呢？（纯数学的专业会追求这种问题）

 

2行化简与阶梯形矩阵

          使用行化简法来解任何的线性方程组，

2.1 问题

• 什么是行化简法？

 

• 基本变量和自由变量

主元列的为基本变量，其他需要主元列求解的为自由变量。

• 利用行化简法来确定解存在与唯一性问题

 

3 向量方程

 

3.1 问题

• 向量空间以及向量的几何表示

       讨论最简单的例子，二维向量如[1,2]T,它表示在二维空间内的一个向量，这里有个隐含假设，就是基向量是[1,0]T和 [0,1]T。

• 向量的线性组合（向量的加和乘法是基础的）

        从几何角度理解，就是现在有基向量了，而向量的线性组合就是在基向量的基础上变换到某个目标向量。比如Ax=b，x经过A的线性变换得到b。

• 某个向量c写成a与b的线性组合是什么意思？

就是问你是否存在权x1和x2，使得x1*a+x2*b=c，解它就是解线性方程组。

 

 

4  矩阵方程Ax=b

 

4.1 问题

 

• Ax=b的几何意义？

其中A可以认为是高维空间的基向量，A对x进行线性变换，通过交换基实现，得到b。

 

 

 

 

• 线性方程组和向量线性组合的等价

 

向量与线性方程组有这样的关系，那可不可以有一般性的定理呢？

以上就是，我们可以根据我们的需要来构建方程组获取解集合。也就是一句话，

• 矩阵-向量积Ax的性质

一些简单的关于计算方面的东西，比如乘法交换律之类的东西，为什么证明这个呢？说明它是由所定义来推导的性质，而不是定义的。

 

 

5 线性方程组的性质

数学上的求解。

 

 

6  线性方程组的应用

讲述线性方程组怎么来的，如何使用线性方程组去解决问题。这才是重点。比如下面的例子中，如果用线性方程组来表示这种平衡价格，类似于数学建模。那能不能用线性方程组描述信息在网络的传播呢？

• 例子

 

7 线性无关

 

7.1 问题

• 什么叫线性无关？

就是表示R空间的基向量每个向量之间是线性无关的。

• 只有两个向量的例子

 

 

8 线性变换介绍

 

8.1 问题

• 线性变换指的是什么？

比如Ax=b，表示的是x乘以矩阵A之后，将x变成b。如下图

其中从x到Ax表示一个向量集到另一个向量集的函数。

上图非常的重要，它是理解矩阵乘法关键。

• 矩阵变换

一个例子

为什么一个2维的u经过T变换就形成了三维空间的某个向量？

         我现在对Ax=b有两个解释，一个是否存在x使得A所在的向量经过线性组合得到b，一个是A对x进行线性变换，使它从一个空间映射到另一个空间。

 

 

9 线性变换的矩阵

 

10  经济学、科学和工程中的线性模型（重点）

• 构建有营养的减肥食谱

      比如我每天需要摄入各种营养素多少，而每种食物的营养素是不太一样的，所以用x表示每种食物的搭配比例，这样可以求解食物的比例搭配得到x的解就可以。

• 线性方程与电路网络

 

• 差分方程

这就是我需要的东西，NETSLEUTH算法的理论基础就来自于这里，这就是差分方程，它来自哪里呢？

     比如某个城市的市内人口以及城郊人口，是一个二维矩阵，比如x（t2）=Mx（t1），用x在t1时刻的一维向量乘以某个矩阵M得到x在t2的情况。关键是这个M矩阵怎么构建。在《网络科学引论》中的网络传播和NETSLEUTH算法都有阐述。