欧拉图与欧拉路

定义：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中海边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；若存在一条回路，经过图中海边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称作欧拉图。


定理：无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。欧拉路和欧拉回路的概念，很易推广到有向图中去。


有向欧拉图


定义：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路(回路)，称作单向欧拉路(回路)。


定理:有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。一个有向图G具有单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。


找欧拉路(或回路)可以用Euler算法，如下：
(1)寻找从i出发的环p1p2…px(p1=px=i)。
(2)标记顶的p1->x为待查的状态。
(3)对所有处在待查状态的节点pj递归调用过程Euler(pj)


将Euler（pj）找到的环q1q2…qx插入到环p1p2…px中，得到回路p1p2…pjq1…qypj+1…px。时间复杂度为O(m)。

void Euler(int t)
{
   int i;
   for(i=edge[t].next;i!=-1;i=edge[i].next)
   if(edge[i].t==-1)
   {
       edge[i].t=1;
       Eluer(edge[i].v);
       pop[top++]=edge[i].index;
   }
}

输出时只要逆序输出pop即可，而且当边是按字母序建边时，输出的也是按字母序的答案。


纯dfs算法实现Euler()正确性的证明：


假设节点s为起点，则深搜到不能搜的时候那个节点就是s。为什么呢，只要将这点想通，基本就没什么问题了。我们知道如果一个节点入度减1，那么它的出度必然要减1，在以s为起点的路径中，se1v1e2v2....eivi，如果vi节点不是s节点且为深搜的最后节点，也就是说vi没有了出度，然而我们知道对于v1...v(i-1)节点入度一但减少，出度也就减少了，然而对于s起点来说只要出度减少却没有入度减少，vi的入度减少却没有了出度，所以证明vi节点不可能会成为不是s节点且为深搜的最后节点，即除非他还不是深搜的最后节点，到这里我们基本就可以确定了，vi要满足深搜最后节点必然为vi==s，这样的话vi的入度减少了，出度也减少了（因为s出度减少了），s的出度减少了，入度也减少了（因为vi的入度减少了）所以可以证明以s为起点的深搜最后节点也为s。


然后就是返回了，当沿着路径返回的途中如果vi节点还有出度的话，那么就以vi为起点开始深搜，根据上面的证明，我们可以知道最后的深搜节点肯定为vi起点了。


将回路se1v1e2v2.....eivi(ei1vi1ei2vi2...eiivi)e(i+1).....ejs，括号里面的就是返回途中发生的又一次回路咯，把它嵌入到里面自然大的回路也满足要求了。


欧拉路时同理。