背包DP

01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

f[i][j]表示前i个物品在提及不超过j的前提下的最大价值是多少

对于每一个物品有两种选择，选 or 不选

枚举过程：

在二维数组里第i个物品只和第i-1个物品有关，它是由f[i-1][?]里的两个状态中选出的最大值

#include
using namespace std;
int f[1005][1005];
int v[1005];
int w[1005];
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=v[i])
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<

 

优化：

#include
using namespace std;
int f[1005];//体积小于等于i的情况下最大价值是多少 
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w;
		cin >> v >>  w;
		for(int j=m;j>=v;j--)//从大到小是因为没有重复计算 
		{                    //从小到大算的话f[i-v]这个状态之前被算过了 
			f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);	
		}
	}
	cout<

完全背包问题

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

 

#include
using namespace std;
int f[1005];//体积小于等于i的情况下最大价值是多少 
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w;
		cin >> v >> w; 
		for(int j=v;j<=m;j++)//因为物品可以取无限次，那么从小到大 
		{                    //枚举 正好可以利用之前重复算过的 
			f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
		}
	}
	cout<

多重背包问题 I

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包。

第 ii 种物品最多有 sisi 件，每件体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行三个整数 vi,wi,sivi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

多重背包和01背包的区别主要是01背包的物品只能选一次，而多重背包的物品可以选有限制的si次

此题的数据范围不大 n^3做法最大1e6

然后前两个循环和01背包一样，然后枚举选取的物品的个数，也就是完全背包的选法有s+1种（0，1，……s）

#include
using namespace std;
int f[1005];//体积小于等于i的情况下最大价值是多少 
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n>> m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w,s;
		cin >> v >> w >> s;
		for(int j=m;j>=v;j--)
		{
			for(int k=1;k<=s&&k*v<=j;k++)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
			}
		}
	}
	cout<

 

二维费用的背包问题

•    题解

 

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包，背包能承受的最大重量是 MM。

每件物品只能用一次。体积是 vivi，重量是 mimi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V,MN，V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 NN 行，每行三个整数 vi,mi,wivi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0 0

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

二位费用背包是在01背包（只有体积这一维费用）的情况下，扩展了一维重量的费用

做法类比01背包，加上枚举重量的循环就可以了

#include
using namespace std;
int f[1005][1005];//体积小于等于i,重量小于等于j的情况下最大价值是多少 
int main()
{
	int n,m,t;
	cin >> n >> m >> t;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,s,w;
		cin >> v >> s >>w; 
		for(int j=m ;j>=v;j--)
		{
			for(int k=t;k>=s;k--)
			{
				f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-s]+w); 
			}
		}
	}
	cout<

 

 分组背包问题

有 NN 组物品和一个容量是 VV 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vijvij，价值是 wijwij，其中 ii 是组号，jj 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 NN 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 SiSi，表示第 ii 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 SiSi 行，每行有两个整数 vij,wijvij,wij，用空格隔开，分别表示第 ii 个物品组的第 jj 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

分组背包和多重背包类似，不过多重背包可以选很多件物品，而分组背包每一个组只能选一件物品

 

#include
using namespace std;
int f[1005];//表示前i组物品体积不超过j的情况下的最大价值 
int v[105];
int w[105];
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n>> m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int s;
		cin >> s;
		for(int j=1;j<=s;j++) cin>> v[j]>> w[j];
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=1;k<=s;k++)
			{
				if(j>=v[k])
				{
					f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
				}
			}
		}
	 }
	 cout<