CF235E Number Challenge

一、题目

点此看题

二、解法

建议做这道题之前先把 [SDOI 2015]约数个数和 做了，你就会发现有这样一个等价变换：
$$\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^c\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{z|k}[(x,y)=1][(y,z)=1][(x,z)=1]$$先枚举$x,y,z$（写还是写作$i,j,k$）：
$$\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^c\frac{a}{i}\times \frac{b}{j}\times \frac{c}{k}\times [(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]$$然后改变一下枚举顺序：
$$\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\frac{a}{i}\times \frac{b}{j}\times [(i,j)=1]\sum _{k=1}^c\frac{c}{k}\times [(ij,k)=1]$$时间复杂度$O(n^2\log n)$是允许的，前面不需要变化了，我们反演后面的部分：
$$f(x)=\sum _{k=1}^c\frac{c}{k}\sum _{d|(x,k)}\mu (d)$$先枚举$d$：
$$f(x)=\sum _{d|x}\mu (d)\sum _{d|k}\frac{c}{k}$$我们可以先预处理${\sum }_{d|x}\frac{c}{k}$，然后枚举$d$，就可以算这个柿子了，前面的部分暴力算就行了，时间复杂度$O(n^2\log n)$。

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 2005;
const int M = 4000005;
const int jzm = (1<<30)-1;
int read()
{
    int x=0,flag=1;
    char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int a,b,c,ans,cnt,p[N],mu[N],vis[N],f[M];
void sieve(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int gcd(int a,int b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    a=read();b=read();c=read();
 if(a>b) swap(a,b);
 if(a>c) swap(a,c);
 if(b>c) swap(b,c);
    sieve(c);
    for(int i=1;i<=c;i++)
    {
        int s=0;
        for(int j=i;j<=c;j+=i)
            s+=c/j;
        for(int j=i;j<=a*b;j+=i)
            (f[j]+=mu[i]*s)&=jzm;
    }
    for(int i=1;i<=a;i++)
        for(int j=1;j<=b;j++)
            if(gcd(i,j)==1)
            {
                ans+=(1ll*(a/i)*(b/j)*f[i*j])&jzm;
                ans&=jzm;
            }
    printf("%d\n",ans);
}