牛顿法，拟牛顿法， 共轭梯度法

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牛顿法（当函数非凸时，找到的依然是局部极值）：

1、求解方程。

并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。

原理是利用泰勒公式，在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)

求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x = x1=x0－f(x0)/f'(x0)，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。整个过程如下图：

 

2、牛顿法用于最优化

在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯行法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。

这次为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式：

这个式子是成立的，当且仅当 Δx 无限趋近于0。此时上式等价于：

          为什么说这个式子和上式是等价的，在Δx 趋近于0时，这用到了极限的什么定理？？

求解：

得出迭代公式：

一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息，比梯度下降法更容易收敛（迭代更少次数），如下图是一个最小化一个目标方程的例子，红色曲线是利用牛顿法迭代求解，绿色曲线是利用梯度下降法求解。

在上面讨论的是2维情况，高维情况的牛顿迭代公式是：

其中H是hessian矩阵，定义为：

（Wiki）

 

高维情况依然可以用牛顿迭代求解，但是问题是Hessian矩阵引入的复杂性，使得牛顿迭代求解的难度大大增加，但是已经有了解决这个问题的办法就是Quasi-Newton methond（拟牛顿法），不再直接计算hessian矩阵，而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似矩阵B。

Quasi-Newton methond（拟牛顿法）（当函数非凸时，找到的依然是局部极值）：

拟牛顿算法的核心思想用一个近似矩阵B替代Hessian矩阵H，即 B(k)约等于 H(k)

针对B(K)的计算，拟牛顿法有很多种：

Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno algorithm（BFGS）

还有其他算法，更新B(k)的计算公式：

共轭梯度法是介于梯度下降法和牛顿法，拟牛顿法之间的算法。  

梯度下降法收敛慢，牛顿法需要计算Hessian矩阵，拟牛顿法需要很大的存储空间。