我眼中的--线性动规

线性动规（线性dp）

一.什么叫线性dp

我觉得就像线性结构一样，具有一对一的邻接逻辑关系，简单来说就是n个数据元素的有序集合；
线性dp也就是在线性结构上的递推，所解决的问题也就像LIS和LCS一样。
LIS：最长上升子序列问题；
LCS：最长公共子序列问题。

二.线性dp的思路

线性动规也是一种动态规划，所以他的思路也是把多阶段问题划分成单阶段的子问题。例如LIS问题，你可以把他的长度划分成不同的阶段，只有两个字符时，只有三个字符时等…然后逐步递推，借助转移方程来进行转移，最后求出问题答案。

三.线性dp的例题详解–LIS（最长上升子序列问题）

例如：1759:最长上升子序列

（1）题目要求：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

（2）输入与输出：

输入：
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出：
最长上升子序列的长度。
样例输入：
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出：
4

（3）解析

1.具体问题具体分析。
2.划分阶段。
不同的长度阶段下有不同的状态；

3.确定状态变量。
i—控制长度变量；
j—当前第几个字符；
dp[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度 。

4.建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。

边界处理：

        	dp[i]=1;

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	1	1	1	1	1	1

i=2时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	1	1	1	1	1

i=3时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	2	1	1	1	1

i=4时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	2	3	1	1	1

i=5时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	2	3	4	1	1

i=6时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	2	3	4	3	1

i=7时：

i	1	2	3	4	5	6	7
dp[i]	1	2	2	3	4	3	4

利用滚动数组来记录每个数值上出现的最大值；
所以我们通过表得出转移方程：

 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
 	//转移方程;

具体是怎么得到的转移方程呢：
以第4项为例；
a[4]>a[1]，a[4]可以接在a[1]后面，dp[4]=dp[1]+1=2；
a[4] a[4]>a[3]，a[4]可以接在a[3]后面，dp[4]=dp[3]+1=3；
a[4]本身算一个上升子序列，dp[4]=1；
然后在其中取最大，dp[4]最后就会得到3；

5.确定终止条件。
由上表我们可以得到递推的终止条件j;

另外因为我们由上表得到最后一次dp[i]就是每个a[i]的最长上升子序列，所以我们要求全部最长的时候，应该要求dp的最大值；
代码如下：

int maxx=dp[1];
	for(int i=2;i<=n;i++) 
		maxx=max(maxx,dp[i])

四.完整代码

#include
#include
#define N 100001
int max(int a,int b)
{
     
	if(a>=b)
		return a;
	return b;
}
int main()
{
     
	int a[N],dp[N];
	int n;
    scanf("%d",&n);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        {
     
			scanf("%d",&a[i]);
        	dp[i]=1;
        }
       //输入和边界处理 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
     
        for(int j=1;j<i;j++)
	        if(a[j]<a[i]) 
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); 
	}
	//转移方程
	int maxx=dp[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		maxx=max(maxx,dp[i]);
    printf("%d",maxx);
    //因为最大值不一定在最后，所以需要在数组里寻找最大值
    return 0;
}

五.LCS状态转移方程（最长公共子序列）

for(int i=1;i<=len1;i++)
	for(int j=1;j<=len2;j++)
		if(a[i]==b[j])
			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
		else
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);

六.LCIS问题（最长公共上升子序列）

七.总结

最优解可能不在最后，所以需要具体问题具体分析，可能需要进行一次比较，找到最大（小）解。同时线性动规一般是以数值区分问题的不同状态，所以找转移方程，也是在这方面去观察。