莫比乌斯反演详解

前言

由于莫比乌斯反演的应用非常广泛，内容很多但是结论却并不复杂。然而如果没有接触过的话是很难得到超过暴力分的分数，最近的省选也经常考到，所以开单篇记一下公式。
一道经典的莫比乌斯反演题：
求： ∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==d]
也就是说有多少对(i,j)的gcd为d。

莫比乌斯反演公式

具体的证明就不证了，具体可以看度娘，这里只给出结论。
约数的莫比乌斯反演：
若： f(n)=∑d|ng(d)
则： g(n)=∑d|nμ(d)f(nd)
倍数的莫比乌斯反演：
若： f(n)=∑n|dg(d)
则： g(n)=∑n|dμ(dn)f(d)

莫比乌斯函数

公式中的 μ(x) 是莫比乌斯函数，它是这样定义的：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪μ(x)=1μ(x)=0μ(x)=−1μ(x)=1x=1x存在平方因子x有奇数个质因子（包括x是质数）x有偶数个质因子
接下来介绍一种线性筛的做法来筛出莫比乌斯函数。
if (i % p[j] == 0)这句话非常关键，也是为什么这个筛法是线性筛的原因。
同样把这个程序的 μ[x] 去掉就是单纯的质数筛，同样这个质数筛由于if (i % p[j] == 0) 的存在，也是一个线性筛。

void mobius()
{
    int i,j; mbs[1] = 1;
    fo(i,2,N)
        {
            if (!vis[i]) {p[++p[0]] = i; mbs[i] = -1;}
            for (j = 1;j <= p[0] && i * p[j] <= N; j++)
                {
                    vis[i*p[j]] = 1;
                    if (i % p[j] == 0) {mbs[i*p[j]] = 0; break;}
                    mbs[i*p[j]] = - mbs[i];
                }
        }
}

构造

现在不妨记 g(x)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==d] 。
然后我们构造一个 f(x) ，这里我们用到第二组莫比乌斯反演公式，那么 f(x) 是什么呢？根据公式 f(x) 应该是若干个 g(x) 的和。接下来记 N=min(n,m) ，也就是gcd的上限，那么我们可以得到：（这里的d不要和公式的d搞混）
f(d)=g(d)+g(2d)+g(3d)+...+g(⌊Nd⌋)
即：
f(d)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)%d==0]
写成公式的形式就是：
f(d)=∑d|pg(p)(p<=N)
好极了！我们完成了构造，现在让我们反演一下来看看结果如何：
g(d)=∑d|pμ(pd)f(p)
现在看起来问题转换成了如何求 f(x) 。 f(x) 指的是满足gcd(i,j)是d的倍数的数对，显然有 f(x)=⌊nx⌋⌊mx⌋ 。至此，前言中的问题就可迎刃而解了。