【CJOJ2512】gcd之和（莫比乌斯反演）

题面

给定 n,m(n,m<=107)
求

∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)

题解

首先把公因数直接提出来

∑d=1nd∑i=1n/d∑j=1m/d[gcd(i,j)==1]

很明显
设

f(x)=∑i=1a∑j=1b[gcd(i,j)==x]

g(x)=∑x|df(d)

g(x)=∑i=1a∑j=1b[x|gcd(i,j)]

g(x)=∑i=1a/x∑j=1b/x[1|gcd(i,j)]

g(x)=[ax]⋅[bx]

很明显，可以对 f(x) 进行莫比乌斯反演，

f(x)=∑i=1xμ(i)g(i)

可以数论分块算

所求的式子

ans=∑d=1ndf(1)

其中，对于每一次计算的 a,b
a=[nd],b=[md]
这个也很显然可以数论分块

最后，总体复杂度 O(n)

#include
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#include
#include
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 10000000
inline int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,m;
bool zs[MAX+1000];
int pri[MAX+1000],tot,mu[MAX+1000],smu[MAX+1000];
long long ans;
void pre()
{
    zs[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;++i)smu[i]=(smu[i-1]+mu[i])%MOD;
}
int Solve(int a,int b)
{
    int i=1,j;
    long long ret=0;
    while(i<=a)
    {
        j=min(a/(a/i),b/(b/i));
        ret+=1ll*(smu[j]-smu[i-1]+MOD)%MOD*(a/i)%MOD*(b/i)%MOD;
        ret%=MOD;
        i=j+1;
    }
    return (ret+MOD)%MOD;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    if(n>m)swap(n,m);
    int i=1,j;
    pre();
    while(i<=n)
    {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        int tt=1ll*(i+j)*(j-i+1)/2%MOD;
        ans+=1ll*tt*Solve(n/i,m/i);
        ans%=MOD;
        i=j+1;
    }
    printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}