bzoj2693: jzptab

链接

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693

题解

　　网上的题解都和 popoqqq 长得一样，我来发篇不太一样的。
　　令
　　

g(x)=x(x+1)2

　　

s(n,m,x)=x2g(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)

　　沿用 上一道题中的结论
　　

ans=∑d=1n1d∑d|xnμ(xd)s(n,m,x)

　　来变一下形
　　

∑x=1ns(n,m,x)∑d|x1dμ(xd)　　=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x2∑d|x1dμ(xd)

　　令 inv(x)=1x 易知其为积性函数，用 ∗ 表示卷积
　　

ans=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x2(inv∗μ)(x)　　=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x2(μ∗inv)(x)　　=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x2∑d|xμ(d)dx　　=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x∑d|xμ(d)d

　　令 h(d)=μ(d)d ，显然 h(d) 也是积性函数
　　

ans=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x∑d|xh(d)　　=∑x=1ng(⌊nx⌋)g(⌊mx⌋)x(h∗1)(x)

　　令 f(x)=(h∗1)(x) ，显然积性函数的卷积还是积性函数，所以f(x)可以线性筛。当 i mod primej=0 时，可以通过对 f(i) 乘 primej 的完全积性函数，再加上 i×primej 的非完全积性函数来求。
　　最后每次询问直接分块 O(N−−√)

代码

//线性筛+莫比乌斯反演
#include 
#include 
#define maxn 10000001
#define ll long long
#define mod 100000009ll
using namespace std;
ll f[maxn], s2[maxn];
int mu[maxn], prime[maxn/10], inv[maxn];
bool mark[maxn];
void shai()
{
    int i, j;
    for(inv[1]=1,i=2;i*(inv[mod%i])%mod;
    mu[1]=f[1]=1;
    for(i=2;i%=mod;
        if(!mark[i]){prime[++prime[0]]=i;mu[i]=-1;f[i]=inv[i]+mu[i];}
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                f[i*prime[j]]=f[i]*inv[prime[j]];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
        }
    }
    for(i=1;i*i*i+f[i-1])%mod;
}
inline ll g(ll x){return x*(x+1)/2%mod;}
inline ll s(ll n, ll m, ll x)
{return x*x%mod*g(n/x)%mod*g(m/x)%mod;}
void solve(int N, int  M)
{
    if(N>M)swap(N,M);
    int last, i; ll ans=0;
    for(i=1;i<=N;i=last+1)
    {
        last=min(N/(N/i),M/(M/i));
        ans=(ans+g(N/i)%mod*g(M/i)%mod*(f[last]-f[i-1]))%mod;
    }
    printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
int main()
{
    int N, M, T;
    shai();
    for(scanf("%d",&T);T;T--)
    {
        scanf("%d%d",&N,&M);
        solve(N,M);
    }
    return 0;
}