莫比乌斯反演学习笔记

背景：

之前不会用$Markdown$，所以坑没有补。

定义：

以下除法默认向下去整。
对于一个形如$F_n={\sum }_{d|n}{f}_d$的式子，用莫比乌斯反演得到了一个结论：$f_n=\sum _{d|n}\mu (d)\ast F_{n/d}$。

证明可以考虑狄利克雷卷积（稍后补上）。

那么$\mu$的定义是什么呢？
当$n=1$时，$\mu (n)=1$。
当$n>1$时，若$n$能分为$k$个互不相等的质因数乘积，则$\mu (n)=(-1{)}^k$；
否则，$\mu (n)=0$。

同时$\mu$是积性函数，因此可以用欧拉筛预处理$\mu$。

用法：

可是怎么用呢。
我们发现$\mu$函数存在一个性质：$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$。
证明可以考虑狄利克雷卷积（稍后补上）。

好像还是没有什么用（大雾…）？
别着急。

例题：

求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]$。

对于这样的题怎么做呢？
显然暴力的时间复杂度是：$\Theta (n^2)$的。
好像很难…
细心的同学可以发现该式中的$gcd(i,j)=1$与$\mu$性质$[n=1]$有些类似，不妨将其套入，得：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$

更换枚举项，得：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d=1}^n\mu (d)[d|gcd(i,j)]$$

将$\sum _{d=1}^n\mu (d)$前置，得：
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[d|gcd(i,j)]$$

更换枚举项，得：
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{n/d}[d|(gcd(i,j)\ast d)]$$

化简，得：
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{n/d}1$$

最后，得：
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\ast \lfloor \frac{n}{d}\rfloor \ast \lfloor \frac{n}{d}\rfloor$$

可以考虑用整除分块来加速，时间复杂度：$\Theta (\sqrt{n})$。

代码：

以这道题 $P4450$ 双亲数 或P3455 [POI2007]ZAP-Queries的代码为例题目，但求的是$gcd(i,j)=k$的方案，具体可以看下面题表第一题的证明。

#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
	int prime[1000010],mu[1000010],sum_mu[1000010];
	bool bz[1000010];
	int n,m,k;
void init(int ma)
{
	bz[0]=bz[1]=true;
	mu[1]=1;
	int t=0;
	for(int i=2;i<=ma;i++)
	{
		if(!bz[i]) prime[++t]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=ma;j++)
		{
			bz[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j]))
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
}
LL solve(int n,int m,int k)
{
	LL sum=0;
	n/=k,m/=k;
	for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		sum+=((LL)n/l)*((LL)m/l)*((LL)sum_mu[r]-sum_mu[l-1]);
	}
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
	init(max(n,m));
	printf("%lld",solve(n,m,k));
}

总结

重点来了。
我们在化简式子时多考虑$\sum ,\prod$的性质，尝试化简。如果化简出形似$gcd(i,j)=1$的式子，可以考虑带入$\mu$的性质，再化简即可。
一般都需要用整除分块的套路，同时，一些题目也需要预处理一些可以被证明的积性函数。

题表
luogu P2522 [HAOI2011]Problem b
luogu P2398 GCD SUM
luogu P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
luogu P2257 YY的GCD
luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和
luogu P3312 [SDOI2014]数表
luogu P3768 简单的数学题
luogu P4917 天守阁的地板
luogu P3704 [SDOI2017]数字表格
luogu P4318 完全平方数
[SPOJ] DIVCNT2 - Counting Divisors