007比力方程

比力方程是惯性导航系统的基本方程，它解决了惯性导航中加速度计的测量值（比力）和导航参数（速度）之间的关系。为使自己对其有足够的了解，通过自己的认知将其推导一下，在此标记。
注：本文依据《惯性导航(第二版)》（秦永元）

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一、相关符号及概念的描述

1、比力$f$（specific force）：单位质量上作用的非引力的外力，用公式表示为$f=\frac{F}{m}$。在我的理解中，一直都把比力当作加速度计测量的加速度。
2、地心惯性系（i系）、地球坐标系(e系)、理想平台坐标系(T系，导航坐标系的无误差复现)
3、$R$表示地心至T系的支点引的位置矢量，可以认为是地心至T系原点（即机体中心）的连线矢量。
4、$\frac{dR}{dt}{|}_i$表示矢量$R$相对于i系对时间的一阶导数，即机体相对于i系的速度。
5、$\frac{dR}{dt}{|}_e$表示矢量$R$相对于e系对时间的一阶导数，即机体相对于e系的速度，或者机体相对于地球的运动速度，即地速，记为$V_{eT}$。
6、${\omega }_{ie}$表示e系相对于i系的转动角速度，实际就是地球的自转角速度矢量，是一个常矢量。其他的矢量$\omega$表示意义同理。
7、$mG$表示质量$m$所受地球的万有引力，方向指向地心。
8、$G$表示引力加速度。
9、$mg$表示质量$m$所受的重力，方向垂直于地面向下。
10、$g$表示重力加速度。
11、$F_c$表示维持质量$m$跟随地球旋转的向心力，实质为万有引力分量。

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二、公式铺垫

1、万有引力

如图所示，显然：
$$mG=mg+F_c$$
故
$$G=g+a_c\text{\hspace{1em}(1)}$$

2、加速度

设平台上加速度计质量块的质量为$m$，其受到的力为非引力外力$F$和地球引力$mG$，根据牛顿第二定律：
$$F+mG=m\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i$$
所以：
$$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i=f+G\text{\hspace{1em}(2)}$$

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三、比力方程的推导

通过公式$(2)$可以看出，表示出比力$f$必须要求得$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i$和$G$。首先求$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i$，即机体相对于i系的加速度，我们首先求机体相对于i系的速度$\frac{dR}{dt}{|}_i$。
根据哥氏定理可得：
$$\frac{dR}{dt}{|}_i=\frac{dR}{dt}{|}_e+{\omega }_{ie}\times R$$
即：
$$\frac{dR}{dt}{|}_i=V_{eT}+{\omega }_{ie}\times R\text{\hspace{1em}(3)}$$
注：对于哥氏定理不清楚的可以参考006哥氏定理.
再次解释一下，该公式表示：机体相对于i系的速度等于机体相对于e系的速度加上牵连点的速度。
对上式再次求导，可得：
$$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i=\frac{d}{dt}{|}_i(V_{eT}+{\omega }_{ie}\times R)=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_i+\frac{d}{dt}{|}_i({\omega }_{ie}\times R)\text{\hspace{1em}(4)}$$

公式$(4)$右边第一部分再次利用哥氏定理得：

$$\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_i=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+{\omega }_{iT}\times V_{eT}$$
其中，${\omega }_{iT}={\omega }_{ie}+{\omega }_{eT}$，这表示T系相对于i系的角速度等于e系相对于i系的角速度与T系相对于e系角速度之和。
即：
$$\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_i=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+({\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+{\omega }_{ie}\times V_{eT}+{\omega }_{eT}\times V_{eT}\text{\hspace{1em}(5)}$$

公式(4)右边第二部分：

由于${\omega }_{ie}$是一个常矢量，所以可得：
$$\frac{d}{dt}{|}_i({\omega }_{ie}\times R)={\omega }_{ie}\times \frac{d}{dt}{|}_i(R)={\omega }_{ie}\times \frac{dR}{dt}{|}_i$$
将公式$(3)$代入可得：
$$\frac{d}{dt}{|}_i({\omega }_{ie}\times R)={\omega }_{ie}\times (V_{eT}+{\omega }_{ie}\times R)={\omega }_{ie}\times V_{eT}+{\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)\text{\hspace{1em}(6)}$$

将公式$(5)$和公式$(6)$代入公式$(4)$可得：

$$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}{|}_i=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+{\omega }_{ie}\times V_{eT}+{\omega }_{eT}\times V_{eT}+{\omega }_{ie}\times V_{eT}+{\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)$$
$$=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+(2{\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}+{\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)\text{\hspace{1em}(7)}$$

将公式(2)代入公式(7)可得：

$$f+G=\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T+(2{\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}+{\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)$$
即：

$$\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T=f-(2{\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}+G-{\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)\text{\hspace{1em}(8)}$$
下面还要看一个图：

在这个图中，动点为S，矢量$R$如上文定义。
角速度${\omega }_{ie}$方向如图所示。
这样，根据右手规则，线速度${\omega }_{ie}\times R$如图所示（搞错线速度方向的同学请注意两矢量的方向）。
那么${\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)$得到向心加速度，根据右手法则方向指向地轴。
令：
$$a_c={\omega }_{ie}\times ({\omega }_{ie}\times R)\text{\hspace{1em}(9)}$$
将$(9)$代入$(8)$得：
$$\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T=f-(2{\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}+G-a_c\text{\hspace{1em}(10)}$$
再将$(1)$代入$(10)$得：
$$\frac{d{V}_{eT}}{dt}{|}_T=f-(2{\omega }_{ie}+{\omega }_{eT})\times V_{eT}+g$$

该公式即为比力方程。关于比力方程就不再多做介绍。