巴什博弈、尼姆博弈、威佐夫博弈

一、巴什博弈（Bash Game）

只有一堆，n个物品，两人轮流取，每次至少取1件，至多取m个，最后取光者胜。

显然，n=m+1时，后手用。

假设n=(m+1)*r+s , 1<=s<=m , 则第一个人取m件，从后余下(m+1)*r件 。第二个人取k件，则第一人再取 m+1-k件。余下(m+1)*(r-1)件，让第二个人选，依次下去，到最后，余下m+1件让第二人选，从而第一个胜出。

假设n=(m+1)*r，则第一个人选k件，第二个人选m+1-k件。余下(m+1)*(r-1)件给第一个人。依次下去，余下m+1件给第一个人，从而第二个人胜出。

结论：若n%(m+1)=0，则先手必败。若n%(m+1)<>0，则先手必胜。

二、尼姆博弈（Nimm Game）

有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

从特殊入手：n=3时，

若（0，0，0）则先手没有物品可先，先手必败，后手必胜。

若（0，n，n），只要后手与先手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。从而，先手必败，后手必胜。

若（1，2，3），无论先手如何拿，后手都可以用，即先手必败，后手必胜。

 上面三种情况，都有

0^0^0=0

0^n^n=0

1^2^3=0

从而猜想，a^b^c=0时，先手必败，后手必胜。

此猜想是正确的，而且，对其它n也是成立的，本文不作证明。

结论：a1^a2^...^an=0，则先手必败。a1^a2^...^an<>0，则先手必胜。（异或^，就是不有进位的二进制加法）

三、威佐夫博弈（Wythoff Game）

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

先手必败状态：

（0，0）、（1，2）、（3、5）、（4、7）、（6、10）、（8、13）、……

【这里用到了特殊到一般的归纳研究思想，是研究博弈的常用方法，也是理解博弈论sg函数的入门方法】

规律：

可以发现第k个必败状态（a(k)、b(k)）而言，a(k)是前面没有出现过的最小自然数，b(k)=a(k)+k。（k=0,1,2,3……）

公式：

结论：（a(k)、b(k)）满足a(k)=int ( k*(1+sqrt(5))/2 )，b(k)=a(k)+k时，先手必败。

 

参考：

https://blog.csdn.net/UncleJokerly/article/details/89159940

https://blog.csdn.net/Icontofig/article/details/84846273

https://blog.csdn.net/Hxj_CSDN/article/details/82892619