第三次近世代数笔记——欧拉函数与原根

今晚如果我可以成功钻研完抽象代数，下周六晚上我就去电音party！！！所以小李加油啦！！！
在学习的过程中，发现原根与欧拉函数的关联较为紧密，而欧拉函数对于我来说又是一个全新的命题，希望这篇笔记也可以帮助到正在看的你。

($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$)*是$\mathbb{Z}$/n$\mathbb{Z}$中可逆元全体构成的乘法群，同时群是由全部与n互素的陪集 $i+n\mathbb{Z},(i,n)=1$ 所组成。

性质：
($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$)*阶为$\phi (n),$也就是欧拉函数

那$\phi (n)$又代表着什么呢？
$\phi (n)$还代表着小于等于n且与n互质的正整数的个数（更常用的想法）

接着引导出——欧拉费马定理

设$(a,n)=1,N=\phi (n)，则a^N\equiv 1(modn)$

也就是$a^{\phi }\equiv 1(modn)$

此定理另外一种表达：

对任意素数p和任意整数a，恒有
$a^p\equiv a(modp)$

由此引出指数的概念并且可以做有关同余的例题。
有关欧拉函数的性质和一些计算技巧，详见教材P16

题外话：（一个发现的小重点： 极大理想是环的真子集！）

下面引出原根的有关~

先看定义：

我们将$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$*中阶为$\phi (n)$的元素成为模$n$的原根

害，吐了，看了定义之后还是啥都不知道呜呜呜！！

诶诶!突然在教材中发现：$a$模$n$的指数$m$应该是$\phi (n)$的因子,而当这个$a$的$m$就是$\phi (n)$时，这个$a$就叫$n$的原根!

那这个指数又是啥呢？
def指数（教材P15）

$设a,n为互素的一对整数,n\ge 1,则存在一个最小的正整数m使得$ $a^m\equiv 1(modn)$,
$m叫做a模n的指数。$

原根的存在性很有用处：这等价于(Z/pZ)*的乘法群是循环群。

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