[数学]导数与微积分(第一部分)

导数与微积分

无论是什么导数, 其本质都是求切线斜率, 都是一个 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 的极限结果. 只不过在不同情境下有不同的名称而已. 而微分无非是变量间的瞬时变化关系罢了.
导数是微分的基础计算工具, 微分是运算和分析工具, 同时为积分提供积分微元指导.

Ⅰ 导数,偏导数和方向导数

一元函数的导数

考虑一元函数 $y=f(x)$, 则对函数的运算
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

的结果 $f^{\prime }(x)$ 称为 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数.
进一步地, $f^{\prime }(x)$ 的导数记为 $f^{\prime \prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ 的导数记为 $f^{\prime \prime \prime }(x)$.
依次称 $f^{\prime \prime }(x)$, $f^{\prime \prime \prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的二阶导数, 三阶导数.
$f(x)$ 的N阶导数记为 $f^{(n)}(x)$. 并规定 $f^{(0)}(x)=f(x)$.

多元函数的偏导数

考虑二元函数, $z=f(x,y)$, 则对函数的双侧极限
$$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y_0)-f(x,y_0)}{\Delta x} \\ {f}_y^{\prime }(x_0,y)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y+\Delta y)-f(x_0,y)}{\Delta y} \end{gathered}$$

的结果 $f_x^{\prime }(x,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y)$ 分别称为 $f(x,y)$ 在 $(x,y_0)$ 处在 $y=y_0$ 方向上的偏导数和在 $(x_0,y)$ 处在 $x=x_0$ 方向上的偏导数. 偏导数又有其他记号, 如下
$$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_1^{\prime }={\partial }_{1}f \\ {f}_y^{\prime }(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f_2^{\prime }={\partial }_{2}f \end{gathered}$$

在一些情况下, 为了书面简洁, 函数后面的 $(x,y)$ 可以省略. 虽然导数的表记符号相当多, 但都是指同一个东西.
类似地, 可以将偏导数推广到一般的多元函数上. 对具有 $n$ 个参数的多元函数的对第 $i$ 个参数的偏导数为
$$\begin{array}{rl}& f_i^{\prime }(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)\\ =& \underset{\Delta x_i\to x_i}{\lim }\frac{f(x_1,\cdots ,x_i+\Delta x_i,\cdots ,x_n)-f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)}{\Delta x_i}\\ =& \frac{\partial f}{\partial x_i}=f_i^{\prime }={\partial }_{i}f\end{array}$$

$f$ 先对第一个参数求偏导数, 然后对第二个参数求偏导数, 结果记作 $\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}$ 或 $f_{12}^{\prime \prime }$ 或 ${\partial }_1{\partial }_{2}f$, 反之, 先对第二个参数求偏导数, 然后对第一个参数求偏导数, 结果记作 $\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y\partial x}$ 或 $f_{21}^{\prime \prime }$ 或 ${\partial }_2{\partial }_{1}f$.
一般情况下函数若足够光滑, 则有 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$, 即多阶导数结果与求导顺序无关.

方向导数

二元函数在 $(x,y)$ 处在方向 $l=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 上的导数, 亦或称为方向导数定义为单侧极限
$$f_l^{\prime }(x,y)=\frac{\partial f}{\partial l}=\underset{\Delta r\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+\Delta r\cos \theta ,y+\Delta r\sin \theta )-f(x,y)}{\Delta r}$$

特别地, 若在x轴和y轴方向的偏导数存在, 则当 $\theta =0$ 时, $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$, 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时, $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial y}$.

Ⅱ 微分

连续映射 $f$ 在值 $x$ 的邻域内若可展开为线性映射和高阶无穷小映射 $r$, 则称映射在 $x$ 可微, 这一现象表记为
$$f(x+\text{d}x)=f(x)+f^{\prime }(x)\text{d}x+r(\text{d}x)$$

其中高阶无穷小映射 $r$ 满足
$$\underset{|\text{d}x|\to 0}{\lim }\frac{r(\text{d}x)}{|\text{d}x|}=0$$

取线性映射中可变部分作为映射在 $x$ 处的微分, 记作
$$\text{d}f(x)=f^{\prime }(x)\text{d}x$$

一元微分

考虑一元函数构成的曲线 $y=f(x)$, 在 $(x,y)$ 处, 当 $x$ 发生 $\text{d}x$ 的任意小的微量变化时, 若 $y$ 亦以一固定比例发生 $\text{d}y$ 的线性变化, 则称曲线或函数在 $(x,y)$ 可微.
令 $\text{d}x=\Delta x$ ,可以看到 $\text{d}y$ 和 $\Delta y$ 的大小关系如下
显然有
$$\text{d}y=f^{\prime }(x)\text{d}x$$

反之有
$$f^{\prime }(x)=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$$

多元微分

考虑二元函数构成的曲面 $z=f(x,y)$, 在 $(x,y,z)$处, 当所有参数都各自发生互不相关的 $\text{d}x$ 和 $\text{d}y$ 的任意小的微量变化时, 若 $z$ 亦以一固定比例发生 $\text{d}z$ 的线性变化, 则称曲面或函数在 $(x,y,z)$ 可微.
以 $(x,y,z)$, $(x+\text{d}x,y+\text{d}y,z+\text{d}z)$ 为对角顶点建立微分立方体.

显然有
$$\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y=f_1^{\prime }(x,y)\text{d}x+f_2^{\prime }(x,y)\text{d}y$$

类似地, 多元函数 $y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 若可微, 则其微分为
$$\text{d}y=\sum _{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\text{d}{x}_i$$

微分换元与向量微分

考虑对关于 $x$ 和 $y$ 的微分方程 $F(x,y,\text{d}x,\text{d}y)=0$ 进行如下换元
$$\{\begin{array}{l}x=f(u,v)\\ y=g(u,v)\end{array}$$

求微分得到
$$\{\begin{array}{l}\text{d}x=f_1^{\prime }\text{d}u+f_2^{\prime }\text{d}v\\ \text{d}y=g_1^{\prime }\text{d}u+g_2^{\prime }\text{d}v\end{array}$$

代入方程完成换元
$$F(x,y,\text{d}x,\text{d}y)=F(f(u,v),g(u,v),f_1^{\prime }\text{d}u+f_2^{\prime }\text{d}v,g_1^{\prime }\text{d}u+g_2^{\prime }\text{d}v)=G(u,v,\text{d}u,\text{d}v)=0$$

一般地, 向量函数 $y=f(x)$ 总可等价拆写为如下向量
$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_k\end{array}\right),f(x)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_k(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ ⋮\\ f_k(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}\right)$$

定义 $\text{d}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{d}{x}_1\\ \text{d}{x}_2\\ ⋮\\ \text{d}{x}_n\end{array}\right)$.
若函数可微, 则函数在 $x$ 的领域内可展开为
$$f(x+\text{d}x)=f(x)+f^{\prime }(x)\text{d}x+r(\text{d}x)$$

由此得到向量函数的微分的概念
$$\text{d}y=\text{d}f(x)=f^{\prime }(x)\text{d}x$$

其中 $f^{\prime }(x)$ 为雅可比矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_k}{\partial x_1}& \frac{\partial f_k}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_k}{\partial x_n}\end{array}\right)$$

导数和微分的应用

增函数与减函数

若函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 内任意 $x_0$ 和 $x_1$ $(x_0<x_1)$ 两处都有 $f(x_0)<f(x_1)$ (或 $f(x_0)>f(x_1)$), 则称该函数在该区间内是单调递增(或单调递减)的. 区间 $D$ 称为增区间(或减区间).
若 $f(x)$ 在区间 $D$ 内单调递增(或单调递减), 有
$$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}>0\left(\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}<0\right)$$

则在该区间内的导数
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ge 0\left(f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\le 0\right)$$

介值定理和中值定理

• 介值定理
  函数 $f(x)$ 在区间 $D=[a,b]$ 上连续.
  则 $\exists \xi \in D,f(\xi )=A$, 其中 $\min \{f(x)\}\le A\le \max \{f(x)\}$.

• 费马引理
  函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_0)$ 内有 $f(x)\le A$
  在 $x_0$ 处可导
  且 $f(x_0)=A$
  则有 $f^{\prime }(x_0)=0$.

• 罗尔中值定理
  函数 $f(x)$ 在区间 $D=[a,b]$ 上连续
  在开区间 $(a,b)$ 可导
  且 $f(a)=f(b)$
  则 $\exists \xi \in D,f^{\prime }(\xi )=0$.

• 拉格朗日中值定理
  函数 $f(x)$ 在区间 $D=[a,b]$ 上连续
  在开区间 $(a,b)$ 可导
  则 $\exists \xi \in D,f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

• 柯西中值定理
  函数 $f(x),g(x)$ 在区间 $D=[a,b]$ 上连续
  在开区间 $(a,b)$ 可导
  且 $g^{\prime }(x)\ne 0$
  则 $\exists \xi \in D,\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

曲线曲面等与函数, 隐函数, 参数方程

曲线曲面等几何体可由函数, 隐函数, 参数方程等确定. 尽管函数, 隐函数, 参数方程等的导数, 偏导数各式各样, 但曲线曲面等集合体的微分形式唯一. 理清各式函数方程的导数偏导数之间的关系, 重点是回归到形式唯一的几何微分.

参数方程确定的函数的导数和偏导数

设参数方程 $$\{\begin{array}{l}y=y(t)\\ x=x(t)\end{array}$$ 确定一段曲线 $y=f(x)$, 求微分得到
$$\{\begin{array}{l}\text{d}y=y^{\prime }(t)\text{d}t\\ \text{d}x=x^{\prime }(t)\text{d}t\end{array}$$

求微商得到 $$f^{\prime }(x)=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$$
继续求微分可得到二阶导数等
$$\text{d}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y^{\prime \prime }{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }}{x^{\prime 2}}\text{d}t$$
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{y^{\prime \prime }{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }}{x^{\prime 3}}$$

类似地, 设参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}$$

确定一块曲面 $z=f(x,y)$, 求微分得到
$$\{\begin{array}{l}\text{d}x=x_1^{\prime }\text{d}u+x_2^{\prime }\text{d}v\\ \text{d}y=y_1^{\prime }\text{d}u+y_2^{\prime }\text{d}v\\ \text{d}z=z_1^{\prime }\text{d}u+z_2^{\prime }\text{d}v\end{array}$$

消去 $\text{d}u$ 和 $\text{d}v$ 得到
$$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\text{d}x+\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\text{d}y+\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\text{d}z=0$$

其中 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 等为雅可比行列式, 定义为
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_1^{\prime }& x_2^{\prime }\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|$$

对比曲面的微分
$$\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$$

得到偏导数
$$\begin{gathered} f_1^{\prime }=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y_2^{\prime }{z}_1^{\prime }-y_1^{\prime }{z}_2^{\prime }}{x_1^{\prime }{y}_2^{\prime }-x_2^{\prime }{y}_1^{\prime }} \\ {f}_2^{\prime }=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x_1^{\prime }{z}_2^{\prime }-x_2^{\prime }{z}_1^{\prime }}{x_1^{\prime }{y}_2^{\prime }-x_2^{\prime }{y}_1^{\prime }} \end{gathered}$$

隐函数确定的函数的导数和偏导数

给定一个函数 $F(x,y)$, 若方程 $F(x,y)=0$ 在平面内确定一条曲线 $y=f(x)$. 对该函数求微分, 得到
$$\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\text{d}y=0 \\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=f^{\prime }(x) \end{gathered}$$

更进一步地, 可以继续得到二阶导数等.
$$\begin{gathered} \text{d}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial x}\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}\frac{\partial F}{\partial y}}{{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2}\text{d}x+\frac{\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}\frac{\partial F}{\partial y}}{{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2}\text{d}y \\ \frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=-\frac{\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2-2\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)}^2}{{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^3} \end{gathered}$$

若 $F(x,y)=0$ 确定一个面积非0的区域, 则在该区域内恒有 $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=0$, 即 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 不存在.

给定一个函数 $F(x,y,z)$, 若方程 $F(x,y,z)=0$ 确定一个曲面 $z=f(x,y)$, 对该函数求微分, 得到
$$\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\text{d}y+\frac{\partial F}{\partial z}\text{d}z=0 \\ \text{d}z=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\text{d}x-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\text{d}y \end{gathered}$$

对比曲面的微分
$$\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$$

得到 $f$ 的偏导数为
$$\begin{gathered} f_1^{\prime }=\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} \\ {f}_2^{\prime }=\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} \end{gathered}$$

反函数的导数

考虑 $y=f(x)$, 其反函数 $f^{-1}$ 有 $x=f^{-1}(y)$, 求微分得到
$$\begin{gathered} \text{d}y=f^{\prime }(x)\text{d}x \\ \text{d}x=(f^{-1}{)}^{\prime }(y)\text{d}y \end{gathered}$$

而有
$$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$$

得到
$$\begin{gathered} (f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)} \\ (f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))} \end{gathered}$$

如计算 $\sin x$ 或 $e^x$ 的反函数的导数, 应用上述结论得到
$${\arcsin }^{\prime }x=\frac{1}{{\sin }^{\prime }(\arcsin x)}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$${\ln }^{\prime }x=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$$

泰勒级数

考虑构造一个多项式 $$p(x)=\sum _i{c}_i(x-x_0{)}^i$$ 逼近一个 $n+1$ 阶可导连续的函数 $f(x)$, 可令
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{p(x)}=1$$

应用洛必达法则, 依次可得到
$$\begin{array}{rl}{c}_0& =f(x_0)\\ c_1& =f^{\prime }(x_0)\\ c_2& =\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}\\ & \cdots \\ c_i& =\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\end{array}$$

即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒展开如下
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)$$ 其中 $R_n(x)$ 为余项, 依展开方式不同, 有不同余项, 如下

1. 佩亚诺余项, 用于定性分析其无穷小的阶 $R_n(x)=o\left[(x-x_0{)}^n\right]$
2. 拉格朗日余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$, 其中 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x_0$ 之间而不等于 $x$ 和 $x_0$.
3. 柯西余项
4. 施勒米尔希-罗什余项
5. 积分余项

设多元函数 $f(x)$ 在 $x_0$ $n$ 阶可偏导, 则其泰勒展开如下, 其中 $x_0$ 和 $x$ 均为列向量.
$$f(x)=f(x_0)+\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}& \frac{\partial f}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)(x-x_0)+\frac{1}{2!}(x-x_0{)}^T\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right)(x-x_0)+R_2(x)$$

为公式整洁, 式中对 $f$ 的偏导数均略去参数 $(x_0)$. 从第四项起需要三维矩阵, 即张量才能表达. 但特别地, 如果函数在 $x_0$ 处的多阶偏导数的求导顺序是相互无关的, 展开式可化简为
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}{\left[(x-x_0{)}^T\nabla \right]}^{i}f(x_0)+R_n(x)$$

其中 $(x-x_0{)}^T\nabla$ 为 $n$ 项式
$$(x-x_0{)}^T\nabla =x_1\frac{\partial }{\partial x_1}+x_2\frac{\partial }{\partial x_2}+\cdots +x_n\frac{\partial }{\partial x_n}$$

${\left[(x-x_0{)}^T\nabla \right]}^i$ 则为该 $n$ 项式的展开
$${\left[(x-x_0{)}^T\nabla \right]}^i=\sum _{i_1+i_2+\cdots +i_n=i}\frac{i!}{i_1!i_2!\cdots i_n!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_i^{i_n}\frac{{\partial }^i}{\partial x_1^{i_1}\partial x_2^{i_2}\cdots \partial x_i^{i_n}}$$

极值

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内有
$$f(x)>f(x_0)(f(x)<f(x_0))$$

则称函数在 $x_0$ 处取极小值(或极大值).
据费马引理, 若函数在 $x_0$ 处可导, 则 $f^{\prime }(x_0)=0$.
若函数在 $x_0$ 处二阶可导, 且 $f^{\prime }(x_0)=0$, 则有泰勒展开
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+o[(x-x_0{)}^2]$$

由此我们得到一个函数在 $x_0$ 取极值的充分条件.
若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, 函数在 $x_0$ 取极小值, 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, 函数在 $x_0$ 取极大值.

一般地, 若多元函数 $f(x_0)$ 在 $x_0$ 一阶偏导全部为零
$$\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}\equiv 0$$

二阶可偏导, 则有泰勒展开
$$\begin{gathered} f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2!}(x-x_0{)}^T{H}_f(x_0)(x-x_0)+R_2(x) \\ {H}_f(x_0)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right) \end{gathered}$$

由此我们得到一个函数在 $x_0$ 取极值的充分条件.
当矩阵 $H_f(x_0)$ 是正定矩阵(或负定矩阵)时, 在去心领域 $\mathring{U}(x_0)$ 内恒有 $x^T{H}_f(x_0)x>0$ (或 $x^T{H}_f(x_0)x<0$ ), 函数在 $x_0$ 取极小值(或极大值).

曲率

曲线 $L$ 的一部分由参数方程 $\{\begin{array}{l}y=y(t)\\ x=x(t)\end{array}$ 确定, 这部分曲线上某一点处的曲率为
$$\frac{\left|\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}-\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}\right|}{{\sqrt{{\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)}^2}}^3}=\frac{\left|y^{\prime \prime }{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }\right|}{{\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}^3}$$

记忆该式, 可对比参数方程确定的函数的二阶导数 $\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{y^{\prime \prime }{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }}{x^{\prime 3}}$, 将分母 $x^{\prime }$ 换成 $\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}$.
若 $x=x(t)=t$, 即 $y=f(x)$, 曲率可化简为
$$\frac{\left|\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}\right|}{{\sqrt{1+{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)}^2}}^3}=\frac{}{{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}^3}$$