分治法——棋盘覆盖问题

输入：

在一个2^k * 2^k(k>0)个方格中，有一个方格与其他方格不同（如图1）

                   

 

（图1）

然后用以下四种L型骨牌（如图2）覆盖除特殊方格外的其他棋盘，且任何两个L型骨牌不得重复

                         （图2）

输出：

用这四种L型骨牌覆盖除特殊方格(0表示特殊方格)外的所有方格，如图3所示：

2	2	3	3
2	1	0	3
4	1	1	5
4	4	5	5

                             （图3）

算法设计：

运用分治法的思想，当k>0时，把2^k * 2^k方格分解成4个2^k -1* 2^k-1(k>0)个方格，其中特殊方格位于4个中的一个，构造剩下没特殊方格三个子棋盘，将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是：

左上角的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上角的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下角的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下角的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格

上面四种情况必定只有三个成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架，并给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，这样就可以用递归算法解决。

C++代码：

#include  < iostream >
using   namespace  std;
int  board[ 32 ][ 32 ];

//  tr, tc: 棋盘左上角的下标
//  dr, dc: 特殊方格的下标
//  size = 2 ^ k   棋盘的大小
void  chessboard( int  tr,  int  tc,  int  dr,  int  dc,  int  size)
{
     if (size  == 1  )  return ;
     int  half_size;
     static   int  num = 1 ;
     int  t = num ++ ;
    half_size  =  size  /   2 ;   
   
     if (dr  <  tr  +  half_size  &&  dc  <  tc  +  half_size)  // 特殊方格在左上角子棋盘
    {
       chessboard(tr, tc, dr, dc, half_size); 
    }
     else     //  不在此棋盘，将此棋盘右下角设为相应的骨牌号
    {
       board[tr  +  half_size  -   1 ][tc  +  half_size  -   1 ]  =  t;
       chessboard(tr, tc, tr  +  half_size  -   1 , tc  +  half_size  -   1 , half_size);
    }
   
     if (dr  <  tr  +  half_size  &&  dc  >=  tc  +  half_size)  // 特殊方格在右上角子棋盘
    {
       chessboard(tr, tc  +  half_size, dr, dc, half_size);
    }
     else    //  不在此棋盘，将此棋盘左下角设为相应的骨牌号
    {
       board[tr  +  half_size  -   1 ][tc  +  half_size]  =  t;
       chessboard(tr, tc  +  half_size, tr  +  half_size  -   1 , tc  +  half_size, half_size);
    }
   
     if (dr  >=  tr  +  half_size  &&  dc  <  tc  +  half_size)  // 特殊方格在左下角子棋盘
    {
       chessboard(tr  +  half_size, tc, dr, dc, half_size);
    }
     else    //  不在此棋盘，将此棋盘右上角设为相应的骨牌号
    {
       board[tr  +  half_size][tc  +  half_size  -   1 ]  =  t;
       chessboard(tr  +  half_size, tc, tr  +  half_size, tc  +  half_size  -   1 , half_size);
 }
   
     if (dr  >=  tr  +  half_size  &&  dc  >=  tc  +  half_size)  // 特殊方格在右下角子棋盘
    {
       chessboard(tr  +  half_size, tc  +  half_size, dr, dc, half_size);
    }
     else     //  不在此棋盘，将此棋盘右下角设为相应的骨牌号
    {
       board[tr  +  half_size][tc  +  half_size]  =  t;
       chessboard(tr  +  half_size, tc  +  half_size, tr  +  half_size, tc  +  half_size, half_size);
    }   
}

void  main()
{   
     int  i,j,size;
    cout << " 输入棋盘的size(大小必须是2的n次方):  " ;   
    cin >> size;  
     int  x,y;  
    cout << " 输入特殊方格位置的坐标:  " ;    
    cin >> x >> y;  
    board[x][y] = 0 ; // 特殊方格初始化为0
    chessboard( 0 ,  0 , x, y,size);
     for (i  =   0 ; i  <  size; i ++ )
    {
         for (j  =   0 ; j  <  size; j ++ )
        {
           cout <<  board[i][j] << " \t " ;
        }
        cout << " \n " ;
    }
}