矩阵论（2）——线性表示及基与坐标

2 线性表示

2.1 线性表示的概念

2.1.1线性表示

设是线性空间V中的向量，若存在V中一组向量{}，及一组数，使得

则称向量能被向量组{}线性表示，或者线性表出。

 

2.1.2 线性相关

设{}是线性空间V中的一组向量，若存在一组不全为0的数：，使得

则称向量组{}线性相关。

2.1.3 线性无关

设{}是线性空间V中的一组向量，若存在一组不全为0的数：，使得

则称向量组{}线性无关。

2.1.4 线性无关的充要条件

2.1.5 线性相关的充要条件

{}中某个向量能够被其余的向量线性表示；

2.1.6 其余性质

单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；

{}线性无关，部分组成的向量组也线性无关；

若向量组中部分向量组成的向量组线性相关，则原向量组线性相关。

 

2.2 基与维数

设{}是线性空间V的一组线性无关向量组，若对V中任意向量，存在一组数{}，使得

则称：向量组{}为V的基，V为n维线性空间，记为,线性空间的维数记为dim(V)=n。

 

2.3 向量的坐标

设向量组{}为线性空间的基，则对中任意元素，有唯一的表示：

记

称为向量在基下的坐标。

结论1:

设在基{}下的坐标为，

记={}，则有（按矩阵和向量乘法运算法则）

结论2:

存在的一一映射

若，则有

称与（线性）同构。

结论3:

如果对应的坐标，那么线性无关的充要条件就是它们对应的坐标线性无关。

 

2.4 过渡矩阵

设 是的两个基

对基 中每个向量 ，可以求出其在基 下的坐标，设为

写成向量形式：

记

由此得到

写成矩阵形式：

陈矩阵为基到基的过渡矩阵（变换矩阵）。

过渡矩阵的性质：

1. 过渡矩阵是满秩矩阵；
2. 若是基到基的过渡矩阵，则是基到基的过渡矩阵；
3. 若向量在基下的坐标为，即，则向量在基下的坐标是：.